Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur les probabilités conditionnelles et l'introduction aux variables aléatoires, deux piliers du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'objectif est de modéliser une situation réelle (choix de vacances et options) à l'aide d'un arbre pondéré, de calculer des probabilités d'intersections et d'utiliser la formule des probabilités totales.

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
• Intersection (\(P(C \cap M)\)) : On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
• Probabilités totales : Pour trouver \(P(M)\), il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'événement \(M\).
• Probabilité conditionnelle inverse : Le calcul de \(P_M(C)\) utilise la formule de Bayes : \(\frac{P(C \cap M)}{P(M)}\).

Correction détaillée

1. Arbre pondéré :
On a \(P(C) = 0,65\), donc \(P(\overline{C}) = 1 - 0,65 = 0,35\).
Pour la branche \(C\) : \(P_C(M) = 0,7\) et \(P_C(\overline{M}) = 0,3\).
Pour la branche \(\overline{C}\) : \(P_{\overline{C}}(M) = 0,3\) et \(P_{\overline{C}}(\overline{M}) = 0,7\).

2. Calcul de \(P(C \cap M)\) :
\(P(C \cap M) = P(C) \times P_C(M) = 0,65 \times 0,7 = 0,455\).

3. Probabilité de l'option ménage :
D'après la formule des probabilités totales :
\(P(M) = P(C \cap M) + P(\overline{C} \cap M)\)
\(P(M) = 0,455 + (0,35 \times 0,3) = 0,455 + 0,105 = 0,56\). La valeur est bien vérifiée.

4. Calcul de \(P_M(C)\) :
\(P_M(C) = \frac{P(C \cap M)}{P(M)} = \frac{0,455}{0,56} = 0,8125\).

5. Variable aléatoire :
Le montant \(X = 850\) euros correspond au cas où le client prend la pension complète (800€) ET l'option ménage (50€).
On cherche donc \(P(X=850) = P(C \cap M) = 0,455\).