Analyse de l'énoncé

Cet exercice est une application classique du chapitre sur les probabilités conditionnelles du programme de Première Spécialité. L'énoncé décrit une expérience aléatoire composée de deux épreuves successives et dépendantes : le lancer d'une fléchette (succès ou échec au centre) détermine le choix de l'urne dans laquelle un tirage est effectué. Ce type de structure se prête parfaitement à une modélisation par un arbre pondéré.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs concepts clés doivent être maîtrisés :

• La construction de l'arbre : Chaque nœud doit avoir des branches dont la somme des probabilités est égale à 1. Par exemple, si $P(C) = 0,3$, alors $P(\overline{C}) = 0,7$.
• Probabilité de l'intersection : On rappelle que $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$. Sur l'arbre, cela revient à multiplier les probabilités rencontrées le long d'un chemin.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer $P(G)$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'issue $G$.
• Probabilité conditionnelle inverse : La question 5 demande de calculer $P_G(C)$. Il faut utiliser la définition : $P_G(C) = \frac{P(C \cap G)}{P(G)}$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Justification de la valeur 0,9

La valeur 0,9 correspond à la probabilité de tirer un ticket gagnant sachant que Pierre a atteint le centre de la cible. L'énoncé précise que s'il atteint le centre (évènement $C$), il tire dans l'urne $U_1$ contenant 9 tickets gagnants sur 10 au total. On a donc : $P_C(G) = \frac{9}{10} = 0,9$.

2. Complétion de l'arbre

En suivant les données de l'énoncé :

• $P(\overline{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,3 = 0,7$.
• Dans l'urne $U_1$ (chemin $C$), la probabilité de perdre est $P_C(\overline{G}) = 1 - 0,9 = 0,1$.
• Dans l'urne $U_2$ (chemin $\overline{C}$), il y a 4 gagnants sur 10, d'où $P_{\overline{C}}(G) = 0,4$.
• Par conséquent, $P_{\overline{C}}(\overline{G}) = 1 - 0,4 = 0,6$.

3. Calcul de $P(\overline{C} \cap G)$

D'après la formule des probabilités composées :
$P(\overline{C} \cap G) = P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(G) = 0,7 \times 0,4 = 0,28$.

4. Montrer que $P(G) = 0,55$

En utilisant la formule des probabilités totales, l'évènement $G$ est la réunion des évènements disjoints $(C \cap G)$ et $(\overline{C} \cap G)$.
$P(G) = P(C \cap G) + P(\overline{C} \cap G)$
$P(G) = (0,3 \times 0,9) + 0,28 = 0,27 + 0,28 = 0,55$. La valeur est bien vérifiée.

5. Probabilité que Pierre ait atteint le centre sachant qu'il a gagné

On cherche $P_G(C)$.
$P_G(C) = \frac{P(C \cap G)}{P(G)} = \frac{0,27}{0,55} \approx 0,4909$.
En arrondissant à $10^{-3}$, on obtient 0,491.