Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles. L'énoncé présente une situation concrète dans un salon de coiffure où deux services sont proposés : la coloration ($C$) et l'effet coup de soleil ($E$). La difficulté principale réside dans la traduction de l'énoncé textuel en données mathématiques rigoureuses, notamment pour identifier les probabilités d'intersection et les probabilités conditionnelles.

Points de vigilance et notions clés

• Lecture de l'énoncé : Le terme 'Parmi ceux qui...' introduit systématiquement une probabilité conditionnelle ($P_{\overline{C}}(E)$).
• L'arbre pondéré : Bien que non explicitement demandé dans la première question, construire un arbre est la méthode la plus sûre pour visualiser les chemins.
• Loi des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer $P(E)$, elle stipule que $P(E) = P(C \cap E) + P(\overline{C} \cap E)$.
• Indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si $P(C \cap E) = P(C) \times P(E)$.

Correction détaillée

1. Valeurs directes :
- D'après l'énoncé, 40% demandent une couleur-soin, donc $P(C) = 0,4$.
- 24% demandent les deux services, donc $P(C \cap E) = 0,24$.
- Parmi ceux qui ne veulent pas de couleur ($\overline{C}$), 30% veulent l'effet E, donc $P_{\overline{C}}(E) = 0,3$.

2. Calcul de $P(\overline{C} \cap \overline{E})$ :
On utilise la formule $P(\overline{C} \cap \overline{E}) = P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(\overline{E})$.
On sait que $P(\overline{C}) = 1 - 0,4 = 0,6$ et $P_{\overline{C}}(\overline{E}) = 1 - 0,3 = 0,7$.
D'où $P(\overline{C} \cap \overline{E}) = 0,6 \times 0,7 = 0,42$.

3. Calcul de $P(E)$ :
D'après la formule des probabilités totales : $P(E) = P(C \cap E) + P(\overline{C} \cap E)$.
On calcule $P(\overline{C} \cap E) = P(\overline{C}) \times P_{\overline{C}}(E) = 0,6 \times 0,3 = 0,18$.
Donc $P(E) = 0,24 + 0,18 = 0,42$.

4. Indépendance :
Calculons $P(C) \times P(E) = 0,4 \times 0,42 = 0,168$.
Or, $P(C \cap E) = 0,24$.
Puisque $P(C \cap E) \neq P(C) \times P(E)$, les évènements $C$ et $E$ ne sont pas indépendants.