Analyse de l'énoncé

Cet exercice classique de Première Spécialité mobilise les outils d'analyse pour résoudre un problème d'économie d'entreprise (optimisation de production). Il s'articule autour de trois concepts clés : la modélisation d'une recette, l'étude du signe d'un trinôme du second degré et la recherche d'un extremum par la dérivation.

Points de vigilance

• Lien Recette/Coût/Bénéfice : Se rappeler que $B(x) = R(x) - C(x)$. Une erreur de signe sur la soustraction est fréquente.
• Signe du trinôme : Pour $B(x)$, le coefficient $a = -0,1$ est négatif, la parabole est tournée vers le bas. Le bénéfice est positif entre les racines.
• Domaine de définition : L'étude se limite strictement à l'intervalle $[0 ; 160]$.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Expression de la recette : La recette est le prix de vente unitaire multiplié par la quantité $x$. On a donc $R(x) = 14x$.

2. Étude du bénéfice : On vérifie que $B(x) = 14x - (0,1x^2 + 0,7x + 100) = -0,1x^2 + 13,3x - 100$. Pour étudier le signe, on calcule le discriminant $\Delta = 13,3^2 - 4 \times (-0,1) \times (-100) = 176,89 - 40 = 136,89$. Les racines sont $x_1 = \frac{-13,3 + 11,7}{-0,2} = 8$ et $x_2 = \frac{-13,3 - 11,7}{-0,2} = 125$. L'artisan réalise un bénéfice positif pour $x \in [8 ; 125]$.

3. Dérivation et Maximum :

• Dérivée : $B'(x) = -0,1 \times 2x + 13,3 = -0,2x + 13,3$.
• Variations : $B'(x) = 0$ pour $x = \frac{13,3}{0,2} = 66,5$. Comme $a < 0$, la fonction croît sur $[0 ; 66,5]$ puis décroît.
• Maximum : Le bénéfice est maximal pour 66,5 kg de confiture. Le montant est $B(66,5) = -0,1(66,5)^2 + 13,3(66,5) - 100 = 342,225$ euros.