Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur les probabilités conditionnelles dans le cadre d'une expérience de tirage successif sans remise. L'énoncé présente une situation classique : un sac contenant 10 jetons (6 rouges et 4 noirs). Le point crucial est que les jetons sont mis de côté après chaque tirage, ce qui signifie que l'univers des possibles et les probabilités évoluent au second tirage en fonction du résultat du premier. C'est la définition même d'une expérience aléatoire dépendante.

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Il doit refléter la diminution du nombre total de jetons (on passe de 10 à 9).
• Tirage sans remise : Si le premier jeton est rouge, il n'en reste que 5 rouges sur 9 au second tour. Si le premier est noir, il reste toujours 6 rouges sur 9.
• Formule des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer $P(R_2)$, elle consiste à sommer les probabilités des chemins menant à l'événement souhaité.
• Probabilités inversées (Bayes) : La dernière question demande de calculer $P_{\overline{R_2}}(R_1)$, c'est-à-dire la probabilité que le premier soit rouge sachant que le second est noir.

Correction détaillée

1. Arbre de probabilité :
Au premier niveau : $P(R_1) = 6/10 = 0,6$ et $P(\overline{R_1}) = 4/10 = 0,4$.
Au second niveau :
- Après $R_1$ : $P_{R_1}(R_2) = 5/9$ et $P_{R_1}(\overline{R_2}) = 4/9$.
- Après $\overline{R_1}$ : $P_{\overline{R_1}}(R_2) = 6/9 = 2/3$ et $P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2}) = 3/9 = 1/3$.

2. a) Calcul de $P(A)$ :
$A = R_1 \cap R_2$. D'après la loi des produits : $P(A) = P(R_1) \times P_{R_1}(R_2) = (6/10) \times (5/9) = 30/90 = 1/3$.

2. b) Événement contraire :
L'événement contraire de "obtenir deux jetons rouges" est "obtenir au moins un jeton noir".

2. c) Probabilité que le second soit rouge ($P(R_2)$) :
Par la formule des probabilités totales :
$P(R_2) = P(R_1 \cap R_2) + P(\overline{R_1} \cap R_2) = 1/3 + (4/10 \times 6/9) = 30/90 + 24/90 = 54/90$.
En simplifiant par 9 : $54/90 = 6/10 = 0,6$.

2. d) Analyse de l'affirmation :
On cherche $P_{\overline{R_2}}(R_1)$. On sait que $P(\overline{R_2}) = 1 - P(R_2) = 0,4$.
$P(R_1 \cap \overline{R_2}) = 0,6 \times (4/9) = 2,4/9 = 24/90$.
$P_{\overline{R_2}}(R_1) = (24/90) / 0,4 = (24/90) / (36/90) = 24/36 = 2/3 \approx 66,7\%$.
L'affirmation est donc vraie, car $66,7\% > 50\%$.