Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Spécialité porte sur les probabilités conditionnelles, un pilier du programme de mathématiques. L'objectif est de traduire une situation concrète (séjours de vacances) en un modèle probabiliste structuré. On y traite la construction d'un arbre pondéré, le calcul d'intersections, l'application de la formule des probabilités totales, et une introduction à la loi binomiale via la répétition d'expériences indépendantes.

Points de vigilance et notions clés

• L'Arbre Pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1. Attention à bien lire si le pourcentage donné est une probabilité a priori ou une probabilité conditionnelle (ex: "parmi les jeunes enfants" indique une conditionnelle).
• Intersection vs Conditionnelle : Ne pas confondre $P(A \cap F)$ (Adolescent ET séjour en France) avec $P_A(F)$ (Séjour en France SACHANT que c'est un adolescent).
• Probabilités Totales : Pour calculer $P(F)$ ou $P(\overline{F})$, il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à l'issue souhaitée.
• Complémentaire : Pour la question 5, l'expression "au moins un" invite systématiquement à passer par l'événement contraire.

Correction détaillée

1. Arbre de probabilité : Sur la première branche $A$, on place 0,4. Donc sur $\overline{A}$, on place 0,6. À partir de $A$, pour $\overline{F}$ (étranger), on a 0,7, donc 0,3 pour $F$. À partir de $\overline{A}$, on a 0,9 pour $F$ (France), donc 0,1 pour $\overline{F}$.
2. Calcul de $P(A \cap \overline{F})$ : $P(A \cap \overline{F}) = P(A) \times P_A(\overline{F}) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$.
3. Probabilité de partir à l'étranger $P(\overline{F})$ : D'après la formule des probabilités totales :
   $P(\overline{F}) = P(A \cap \overline{F}) + P(\overline{A} \cap \overline{F}) = 0,28 + (0,6 \times 0,1) = 0,28 + 0,06 = 0,34$. Le résultat est bien vérifié.
4. Probabilité sachant qu'il part à l'étranger : On cherche $P_{\overline{F}}(\overline{A})$.
   $P_{\overline{F}}(\overline{A}) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{F})}{P(\overline{F})} = \frac{0,06}{0,34} \approx 0,18$ (arrondi au centième).
5. Indépendance (2 participants) : Soit $X$ le nombre de participants partant en France. On cherche $P(X \geq 1)$. L'événement contraire est "aucun ne part en France", soit $(\overline{F}, \overline{F})$.
   $P(\text{aucun en France}) = 0,34 \times 0,34 = 0,1156$.
   $P(\text{au moins un}) = 1 - 0,1156 = 0,8844$. La valeur arrondie est 0,88.