Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu des épreuves de mathématiques de Première Spécialité, porte sur les probabilités appliquées à un contexte biologique (les lois de Mendel sur les pois). L'objectif est double : d'une part, savoir organiser des données croisées dans un tableau d'effectifs, et d'autre part, passer de ces effectifs à des calculs de probabilités simples et conditionnelles.

Points de vigilance et prérequis

• Lien effectif/probabilité : Dans un univers équiprobable (choix au hasard), la probabilité d'un évènement est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre total (ici 10 000).
• Lecture du tableau : Il est crucial de ne pas confondre le total de la ligne/colonne avec l'intersection de deux caractères.
• Notion de conditionnement : La notation $P_A(B)$ désigne la probabilité que $B$ se réalise sachant que l'on se restreint uniquement à l'univers des éléments vérifiant déjà $A$.

Guide de résolution détaillé

1. Complétion du tableau :
Le tableau se remplit par simple soustraction ou addition logique :
- Nombre de pois verts et ridés = Total ridés (600) - Jaunes ridés (100) = 500.
- Nombre de pois jaunes et lisses = Total jaunes (300) - Jaunes ridés (100) = 200.
- Nombre total de pois verts = Total général (10 000) - Total jaunes (300) = 9 700.
- Nombre de pois verts et lisses = Total verts (9 700) - Verts ridés (500) = 9 200.
- Total de pois lisses = 200 + 9 200 = 9 400 (ou 10 000 - 600).

2. Probabilité que le pois soit vert et lisse :
Il s'agit de l'intersection de l'évènement $\bar{J}$ (vert) et $\bar{R}$ (lisse).
$P(\bar{J} \cap \bar{R}) = \frac{9200}{10000} = 0,92$.

3. Probabilité que le pois soit vert :
C'est la probabilité marginale de la colonne 'Pois verts'.
$P(\bar{J}) = \frac{9700}{10000} = 0,97$.

4. Probabilités conditionnelles sachant R :
On travaille uniquement sur la ligne 'Nombre de pois ridés' (Total = 600).
- Probabilité d'être jaune sachant ridé : $P_R(J) = \frac{100}{600} = \frac{1}{6} \approx 0,167$.
- Probabilité d'être vert sachant ridé : $P_R(\bar{J}) = 1 - P_R(J) = \frac{5}{6} \approx 0,833$.

5. Calcul de $P_J(R)$ et interprétation :
$P_J(R) = \frac{P(J \cap R)}{P(J)} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3} \approx 0,33$.
Interprétation : Cela signifie que parmi l'ensemble des pois jaunes de la culture, environ 33 % sont de forme ridée.