Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'application concrète des suites géométriques et de l'algorithmique Python. La thématique est la compression de données numériques (fichiers images), un sujet classique qui permet d'évaluer la compréhension des évolutions en pourcentage et leur modélisation par des suites.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficients multiplicateurs : Une baisse de $x \%$ revient à multiplier par $(1 - x/100)$. Ici, une baisse de $17 \%$ correspond à un coefficient de $0,83$.
- Nature de la suite : Identifier une relation de la forme $t_{n+1} = q \times t_n$ comme étant la définition d'une suite géométrique.
- Algorithmique : Savoir interpréter une boucle
While (Tant que) et comprendre que la condition d'arrêt est l'inverse de la condition de maintien.
Correction détaillée
1. Calcul du pourcentage de réduction
La valeur initiale est de $800$ ko et la valeur finale de $664$ ko. Le taux d'évolution est donné par :
$(V_f - V_i) / V_i = (664 - 800) / 800 = -136 / 800 = -0,17$.
Le pourcentage de réduction associé à cette première compression est donc de $17 \%$.
2. Nature de la suite $(t_n)$
On fixe la réduction à $17 \%$. Chaque étape consiste à multiplier la taille précédente par $1 - 17/100 = 0,83$.
On a donc $t_{n+1} = 0,83 \times t_n$.
La suite $(t_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $t_0 = 800$ et de raison $q = 0,83$.
3. Expression de $t_n$ en fonction de $n$
D'après le cours sur les suites géométriques : $t_n = t_0 \times q^n$.
Soit $t_n = 800 \times 0,83^n$.
4. Paramètre A de l'algorithme
L'énoncé cherche le nombre minimal de compressions pour que la taille soit inférieure à 50 ko. Dans la fonction Python, la boucle continue tant que t > A. Pour que la fonction renvoie le rang où l'on passe sous le seuil de 50 ko, il faut donc choisir A = 50.
5. Détermination du nombre minimal de compressions
Nous cherchons $n$ tel que $800 \times 0,83^n < 50$, soit $0,83^n < 0,0625$.
En testant à la calculatrice :
$0,83^{14} \approx 0,0736$ (soit environ 58,9 ko)
$0,83^{15} \approx 0,0611$ (soit environ 48,9 ko)
Le nombre minimal de compressions successives est donc 15.