Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet 60 de l'année 2020 pour le niveau Première Spécialité, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Il balaye une large partie du programme, allant de l'analyse avec la fonction exponentielle et le second degré, aux probabilités discrètes, en passant par la géométrie plane et la trigonométrie. Chaque question est indépendante, ce qui permet de tester la polyvalence de l'élève sur des compétences fondamentales du cycle terminal.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :

• Analyse graphique : Savoir comment le paramètre $\lambda$ modifie la pente et le sens de variation de $e^{\lambda x}$. Plus $\lambda$ est petit (très négatif), plus la décroissance est brutale.
• Probabilités : Connaître le calcul de l'événement contraire pour gagner du temps sur des variables aléatoires simples.
• Trigonométrie : Comprendre la notion de périodicité sur un graphique. Pour la fonction sinus, la période est $2\pi$.
• Algèbre : Maîtriser le calcul du discriminant $\Delta$ pour les trinômes du second degré.
• Géométrie : Savoir appliquer le théorème d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) pour calculer une longueur dans un triangle quelconque.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 (Exponentielle) : Les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentent des fonctions décroissantes, donc leurs paramètres $\lambda$ sont négatifs. En comparant les valeurs pour $x > 0$, on observe que $\mathcal{C}_g$ est en dessous de $\mathcal{C}_f$, ce qui signifie que $g(x)$ diminue plus vite. Cela correspond à un coefficient $\lambda$ plus éloigné de zéro dans les négatifs. Ainsi, le plus petit paramètre est celui de $\mathcal{C}_g$. Réponse : b.

Question 2 (Probabilités) : Le couple a deux enfants. L'univers des possibles est {FF, FG, GF, GG} avec une probabilité de $0,25$ pour chaque issue. La variable $X$ est le nombre de filles. L'événement $X \geqslant 1$ est le contraire de $X = 0$ (aucune fille, soit l'issue GG). $P(X \geqslant 1) = 1 - P(GG) = 1 - 0,25 = 0,75$. Réponse : d.

Question 3 (Trigonométrie) : La période d'une fonction est la distance entre deux points identiques dans le cycle. Le point $A_0$ se situe sur une phase croissante de la courbe. Le point suivant ayant la même ordonnée et se trouvant également sur une phase croissante est $A_3$. Le segment $[A_0 ; A_3]$ correspond donc à une période. Réponse : c.

Question 4 (Second degré) : Soit $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 1$. Le discriminant est $\Delta = (-2)^2 - 4(0,5)(1) = 4 - 2 = 2$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux racines : $x = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{2 \times 0,5} = 2 \pm \sqrt{2}$. L'ensemble des solutions est $\{2 - \sqrt{2} ; 2 + \sqrt{2}\}$. Réponse : b.

Question 5 (Al-Kashi) : Dans le triangle $ABC$, on utilise la formule : $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \times AB \times BC \times \cos(\widehat{ABC})$. En remplaçant par les valeurs : $AC^2 = 5^2 + 2^2 - 2 \times 5 \times 2 \times \cos(60^{\circ}) = 25 + 4 - 20 \times 0,5 = 29 - 10 = 19$. Donc $AC = \sqrt{19}$. Réponse : a.