Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité Mathématiques de 2020, traite d'une application classique des probabilités en contexte médical : l'efficacité d'un test de diagnostic pour une angine. L'objectif est de modéliser une situation aléatoire complexe faisant intervenir des probabilités conditionnelles à l'aide d'un arbre pondéré, puis d'appliquer la loi des probabilités totales et la formule de Bayes (inversion de probabilités).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions fondamentales doivent être maîtrisées :

• L'arbre pondéré : C'est l'outil indispensable. Rappelez-vous que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Intersection (P(A ∩ B)) : Elle se calcule en multipliant les probabilités le long du chemin correspondant.
• Loi des probabilités totales : Pour calculer la probabilité d'un événement final (comme le test positif), il faut sommer les probabilités de tous les chemins menant à cet événement.
• Probabilité conditionnelle inverse : Le calcul de P_T(B) demande une attention particulière pour ne pas confondre l'événement conditionnant et l'événement dont on cherche la probabilité.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Construction de l'arbre pondéré :
On part d'un nœud initial vers deux branches : B (angine bactérienne) avec p=0,2 et son contraire B-barre (angine virale) avec p=0,8. Depuis B, on a T (positif) avec p=0,7 (car 1 - 0,3) et T-barre avec p=0,3. Depuis B-barre, on a T avec p=0,1 et T-barre avec p=0,9.

2. Calcul de P(B ∩ T) :
On suit le chemin passant par B puis T.
P(B ∩ T) = P(B) × P_B(T) = 0,2 × 0,7 = 0,14. La probabilité que l'angine soit bactérienne et le test positif est de 0,14.

3. Probabilité que le test soit positif (P(T)) :
D'après la loi des probabilités totales, T est réalisé par deux issues disjointes : (B ∩ T) et (B-barre ∩ T).
P(T) = P(B ∩ T) + P(B-barre ∩ T) = 0,14 + (P(B-barre) × P_{B-barre}(T)) = 0,14 + (0,8 × 0,1) = 0,14 + 0,08 = 0,22. La probabilité est bien de 0,22.

4. Calcul de la probabilité conditionnelle P_T(B) :
On cherche la probabilité que l'angine soit bactérienne sachant que le test est positif.
P_T(B) = P(B ∩ T) / P(T) = 0,14 / 0,22 ≈ 0,636. Ainsi, environ 63,6 % des personnes ayant un test positif ont réellement une angine bactérienne.