Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution d'une population par une suite mathématique. On nous présente une baisse annuelle constante de 2 %, ce qui traduit immédiatement une évolution géométrique. L'énoncé fournit déjà la relation de récurrence ($u_{n+1} = 0,98u_n$), facilitant l'identification de la raison. L'objectif est de vérifier la compréhension de la structure d'une suite (terme initial, raison, forme explicite) et sa mise en œuvre algorithmique via le langage Python.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une baisse de 2 % correspond à multiplier par $(1 - 2/100) = 0,98$.
- Nature de la suite : Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même réel constant $q$.
- Forme explicite : Pour une suite géométrique, $u_n = u_0 \times q^n$.
- Algorithmique : Dans une boucle
for i in range(1, n+1), l'itérateur parcourt les valeurs jusqu'à $n$ inclus, ce qui est crucial pour calculer $u_n$ par itérations successives.
Correction détaillée
1. Calcul de $u_1$ :
$u_1 = 0,98 \times u_0 = 0,98 \times 800 = 784$.
Cette valeur représente le nombre d'habitants de la commune au début de l'année 2020 (soit 1 an après 2019).
2. Nature de la suite :
La relation $u_{n+1} = 0,98u_n$ montre que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,98$ et de premier terme $u_0 = 800$.
3. Expression de $u_n$ :
D'après le cours sur les suites géométriques, on a $u_n = u_0 \times q^n$, soit :
$u_n = 800 \times 0,98^n$ pour tout entier naturel $n$.
4. Population en 2025 :
L'année 2025 correspond à $n = 2025 - 2019 = 6$.
Calculons $u_6 = 800 \times 0,98^6 \approx 708,65$.
À l'entier près, la commune comptera environ 709 habitants en 2025.
5. Complétion de la fonction Python :
Voici la fonction complétée :
def u(n):
u = 800
for i in range(1, n + 1):
u = u * 0.98
return u