Analyse de l'épreuve

Cet exercice sous forme de Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaye une grande partie du programme de mathématiques de la classe de Première Spécialité. Ce type d'exercice nécessite une grande rigueur car aucune justification n'est demandée, mais une seule erreur de calcul conduit à une réponse fausse. Les thèmes abordés sont : l'étude de signe d'un trinôme, l'équation cartésienne de droite, le calcul de dérivées (quotient et composée) et les propriétés de la fonction exponentielle.

Points de vigilance et notions de cours

• Second degré : Pour une inéquation du type $ax^2 + bx + c > 0$, il faut calculer le discriminant $\Delta$, trouver les racines, puis appliquer la règle : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
• Géométrie repérée : Une droite de vecteur directeur $\vec{v}(-b; a)$ a une équation de la forme $ax + by + c = 0$. N'oubliez pas de tester les coordonnées du point $A$ pour trouver la constante $c$.
• Dérivation : La formule du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ est un classique. Attention aux signes moins lors du développement du numérateur.
• Exponentielle : Rappelez-vous que $(e^x)^n = e^{nx}$, $e^a \times e^b = e^{a+b}$ et que la dérivée de $e^{ux}$ est $u'e^{ux}$.

Correction détaillée

Question 1 : On calcule $\Delta = 2^2 - 4(-3)(1) = 4 + 12 = 16$. Les racines sont $x_1 = \frac{-2-4}{-6} = 1$ et $x_2 = \frac{-2+4}{-6} = -1/3$. Le coefficient $a=-3$ est négatif, le trinôme est donc positif entre les racines. La réponse est C.

Question 2 : Avec $\vec{v}(3; -2)$, on a $-b=3$ donc $b=-3$ et $a=-2$. L'équation est $-2x - 3y + c = 0$. En passant par $A(-1; 5)$, on a $-2(-1) - 3(5) + c = 0 \Rightarrow 2 - 15 + c = 0 \Rightarrow c = 13$. L'équation est $-2x - 3y + 13 = 0$. La réponse est D.

Question 3 : On pose $u(x)=2x+1$ ($u'=2$) et $v(x)=x-2$ ($v'=1$). $f'(x) = \frac{2(x-2) - 1(2x+1)}{(x-2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 1}{(x-2)^2} = \frac{-5}{(x-2)^2}$. La réponse est D.

Question 4 : L'expression se simplifie comme suit : $\frac{e^{2x} \times e^{-x+1}}{e^{5x}} = \frac{e^{2x-x+1}}{e^{5x}} = \frac{e^{x+1}}{e^{5x}} = e^{x+1-5x} = e^{-4x+1}$. La réponse est A.

Question 5 : En développant $f(x) = 3e^{2x} - e^x$. La dérivée est $f'(x) = 3(2e^{2x}) - e^x = 6e^{2x} - e^x$. La réponse est B.