Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 5 questions indépendantes. Il balaie un spectre large du programme de Mathématiques en Première Spécialité, incluant la trigonométrie, la géométrie analytique (vecteurs et cercles) et les fonctions du second degré. L'objectif est de vérifier la maîtrise des fondamentaux sans exiger de rédaction complexe.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Connaissance parfaite du cercle trigonométrique et des valeurs remarquables du cosinus.
• Géométrie repérée : Formule du vecteur $\vec{AB}(x_B-x_A ; y_B-y_A)$ et lien entre l'équation réduite d'une droite ($y=ax+b$) et ses vecteurs directeurs $\vec{u}(1 ; a)$.
• Second degré : Lecture graphique du sommet $S(\alpha ; \beta)$ d'une parabole pour identifier sa forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$.
• Cercle : Identification du centre $\Omega(x_0 ; y_0)$ et du rayon $R$ à partir de l'équation $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.

Correction détaillée

Question 1 : On cherche $x$ tel que $\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Sur le cercle trigonométrique, on sait que $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. En utilisant la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, $\cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Réponse (a).

Question 2 : Pour les points $A(-2; 7)$ et $B(4; -5)$, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(4 - (-2) ; -5 - 7) = (6 ; -12)$. Réponse (c).

Question 3 : La droite a pour équation $y = -2x + 5$. Le coefficient directeur est $m = -2$. Un vecteur directeur classique est de la forme $\vec{u}(1 ; m)$, soit $(1 ; -2)$. Par colinéarité, le vecteur $(-1 ; 2)$ convient également (multiplication par -1). Réponse (b).

Question 4 : Le graphique montre une parabole de sommet $S(2 ; 1)$. La forme canonique est donc $y = a(x-2)^2 + 1$. En observant le point $(3, 2)$, on déduit $a=1$. L'équation est $y = (x-2)^2 + 1$. Réponse (d).

Question 5 : L'équation $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 9$ peut s'écrire $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2$. Le centre est donc $C(-2 ; 3)$ et le rayon est $R = 3$. Réponse (a).