Analyse de l'exercice : Un QCM de synthèse pour la Première Spécialité

Cet exercice, extrait des épreuves communes de 2020, propose une révision transversale de trois chapitres fondamentaux du programme de Première Spécialité Mathématiques : la trigonométrie, le produit scalaire et les suites numériques. Sa structure sous forme de QCM exige une maîtrise rapide des formules de base et une capacité à éliminer les réponses absurdes par des raisonnements graphiques ou algébriques.

Points de vigilance et notions de cours requises

• Trigonométrie : Il est crucial de connaître par cœur le cercle trigonométrique, les valeurs remarquables et les propriétés de symétrie (cos(π-x), sin(π+x), etc.).
• Produit scalaire : La maîtrise des différentes expressions (normes et cosinus, coordonnées, projection orthogonale) est indispensable. L'identité remarquable vectorielle est également un classique des évaluations.
• Suites : La distinction entre suite arithmétique et géométrique est fondamentale, tout comme la formule de la somme des termes d'une suite géométrique de raison q ≠ 1.

Correction détaillée des questions

Question 1 : Propriétés de symétrie

D'après le cours sur le cercle trigonométrique, on sait que cos(π - x) = -cos(x) et cos(π + x) = -cos(x). Par conséquent, cos(π - x) = cos(π + x). La réponse correcte est la b.

Question 2 : Équations trigonométriques

On cherche x tel que sin(x) = -√3/2 sur [0 ; 2π[. On sait que sin(π/3) = √3/2. Les angles ayant un sinus négatif se situent dans les quadrants III et IV. Les solutions sont donc π + π/3 = 4π/3 et 2π - π/3 = 5π/3. La réponse correcte est la a.

Question 3 : Calcul de produit scalaire

Pour le triangle équilatéral ABE de côté a, l'angle (AB; AE) est de 60° (soit π/3 rad). Le produit scalaire est donné par AB × AE × cos(π/3) = a × a × 0,5 = 0,5a². La réponse correcte est la c.

Question 4 : Identités vectorielles

Il s'agit d'une application directe du cours sur le développement de la norme d'une somme de vecteurs : ||u + v||² = ||u||² + ||v||² + 2(u·v). La réponse correcte est la d.

Question 5 : Somme de termes d'une suite géométrique

La somme S est de la forme 1 + q + q² + ... + qⁿ avec q = -2. C'est une suite géométrique de premier terme 1 et de raison -2. La formule de la somme est : (premier terme) × (1 - q^(nombre de termes)) / (1 - q). Ici, il y a (n+1) termes. S = 1 × (1 - (-2)^(n+1)) / (1 - (-2)) = (1 - (-2)^(n+1)) / 3. La réponse correcte est la d.