Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il mobilise les concepts fondamentaux de l'univers des probabilités, spécifiquement les probabilités conditionnelles dans un contexte industriel de production. L'énoncé présente une partition de l'univers via deux sous-traitants (A et B) et un événement 'être défectueux' (D).

Points de vigilance et notions de cours

• L'arbre pondéré : Bien que non demandé explicitement, schématiser la situation avec un arbre de probabilité est la meilleure méthode pour visualiser les pondérations.
• L'événement complémentaire : Savoir que $P(B) = 1 - P(A)$.
• La loi des probabilités totales : Formule cruciale ici pour faire le lien entre la production globale et les taux de défauts individuels : $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)$.
• La définition de la probabilité conditionnelle : Ne pas confondre $P_B(D)$ (probabilité d'être défectueux sachant qu'il vient de B) et $P_D(B)$ (probabilité qu'il vienne de B sachant qu'il est défectueux).

Correction détaillée

Question 1 : Pourcentage de production du sous-traitant B

L'univers est composé uniquement des téléphones provenant de A ou de B. On sait que le sous-traitant A assure 40 % de la production, soit $P(A) = 0,4$. Par conséquent, le sous-traitant B assure le reste de la production : $P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6$.
Le sous-traitant B assure donc 60 % de la production totale.

Question 2 : Probabilité que le téléphone vienne de B sachant qu'il est défectueux

Nous cherchons la probabilité conditionnelle $P_D(B)$, définie par la formule : $P_D(B) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)}$.
Nous connaissons déjà $P(D) = 0,034$. Il nous faut calculer $P(B \cap D)$.

D'après la loi des probabilités totales : $P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)$.
On calcule $P(A \cap D)$ : $P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,4 \times 0,04 = 0,016$.

On en déduit $P(B \cap D)$ par soustraction :
$P(B \cap D) = P(D) - P(A \cap D) = 0,034 - 0,016 = 0,018$.

Enfin, on calcule $P_D(B)$ :
$P_D(B) = \frac{0,018}{0,034} = \frac{18}{34} = \frac{9}{17} \approx 0,529$.

La probabilité qu'un téléphone provienne du sous-traitant B sachant qu'il est défectueux est d'environ 0,529.