Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une évolution géométrique modélisée par une suite. Le contexte est géométrique (construction d'une spirale de segments), mais la résolution repose sur la maîtrise des suites numériques et de leur implémentation en Python. L'énoncé introduit une croissance de 150 %, ce qui correspond mathématiquement à une raison multiplicative.
Points de vigilance et notions requises
- La Raison : Une augmentation de 150 % signifie que l'on multiplie par 1,5. Il ne faut pas confondre l'augmentation de la valeur avec la valeur finale.
- Formule du terme général : Pour une suite géométrique démarrant à $u_1$, la formule est $u_n = u_1 \times q^{n-1}$. L'erreur classique est d'utiliser l'exposant $n$.
- Somme des termes : La question 5 nécessite la formule $S_n = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.
- Algorithmie : Dans la boucle 'while', l'ordre de mise à jour des variables est crucial pour ne pas fausser le calcul de la longueur totale.
Correction Détaillée
1. Calcul des premiers termes :
$u_3 = u_2 \times 1,5 = 3 \times 1,5 = 4,5$.
$u_4 = u_3 \times 1,5 = 4,5 \times 1,5 = 6,75$.
2. Nature de la suite :
Chaque segment mesure 150 % du précédent, donc pour tout $n \geqslant 1$, $u_{n+1} = 1,5 u_n$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_1 = 2$ et de raison $q = 1,5$.
3. Expression de $u_n$ :
D'après le cours, $u_n = u_1 \times q^{n-1}$, soit $u_n = 2 \times 1,5^{n-1}$.
4. Algorithme Python :
Le programme doit accumuler les longueurs. Voici les lignes complétées :
i = i + 1
u = u * 1.5
longueur = longueur + u
5. Longueur de la spirale (Somme) :
On cherche $S_{14} = u_1 + u_2 + ... + u_{14}$.
$S_{14} = 2 \times \frac{1 - 1,5^{14}}{1 - 1,5} = 2 \times \frac{1 - 1,5^{14}}{-0,5} = -4 \times (1 - 1,5^{14}) = 4 \times (1,5^{14} - 1)$.
À la calculatrice, $S_{14} \approx 1163,66$.
La longueur totale arrondie au mm est donc de 1164 mm (soit environ 1,16 m).