Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques issu de la session 2020 propose un balayage de plusieurs thématiques fondamentales du programme. Il se présente sous la forme de cinq affirmations à évaluer (Vrai/Faux) avec justification. La première partie teste les compétences en géométrie repérée (vecteurs colinéaires, orthogonalité et équation de cercle). La deuxième partie aborde la dérivation d'une fonction quotient impliquant la fonction exponentielle. Enfin, la dernière partie sollicite des connaissances en trigonométrie, spécifiquement sur le signe des fonctions sinus et cosinus sur le cercle trigonométrique.

Points de vigilance et notions requises

• Géométrie : Rappelez-vous que deux droites sont perpendiculaires si le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul ou si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à -1. Pour le cercle, la forme canonique est $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Analyse : La dérivation de $f(x) = \frac{e^x}{x}$ nécessite la formule du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. Attention à ne pas oublier que la dérivée de $e^x$ est $e^x$.
• Trigonométrie : Situer l'angle $\frac{2\pi}{5}$ sur le cercle trigonométrique est crucial. Puisque $0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, l'angle appartient au premier quadrant.

Correction Détaillée

Affirmation 1 : Fausse. Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}(2 ; 2)$ et $\vec{CD}(-7 ; 6)$. Le produit scalaire est $2 \times (-7) + 2 \times 6 = -14 + 12 = -2$. Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs (et les droites) ne sont pas orthogonaux.

Affirmation 2 : Fausse. La droite (AB) a pour coefficient directeur $m = \frac{0 - (-2)}{4 - 2} = 1$. Une droite perpendiculaire à (AB) doit avoir un coefficient directeur $m' = -1$ (car $m \times m' = -1$). L'équation proposée $y = x - 5$ a un coefficient directeur de 1, ce qui correspond à une droite parallèle et non perpendiculaire.

Affirmation 3 : Vraie. Le centre est $A(2 ; -2)$. Le rayon au carré est $R^2 = AB^2 = (4-2)^2 + (0-(-2))^2 = 2^2 + 2^2 = 8$. L'équation est bien $(x - 2)^2 + (y - (-2))^2 = 8$, soit $(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 8$.

Affirmation 4 : Vraie. En utilisant $(u/v)'$, on a $f'(x) = \frac{e^x \times x - e^x \times 1}{x^2} = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$. En remplaçant par $x = 1$, on obtient $f'(1) = \frac{e^1(1 - 1)}{1^2} = 0$.

Affirmation 5 : Fausse. L'angle $\frac{2\pi}{5}$ est compris entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ (car $0 < 0,4\pi < 0,5\pi$). Dans le premier quadrant du cercle trigonométrique, le sinus de tout angle est strictement positif. Donc $\sin(\frac{2\pi}{5}) > 0$.