Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation d'un phénomène physique concret : le rebond d'une balle. La notion centrale ici est la suite géométrique. L'énoncé précise qu'à chaque rebond, la hauteur est multipliée par un coefficient constant (4/5), ce qui définit immédiatement la nature de la suite. Il s'agit d'un classique des sujets de Première Spécialité pour tester la compréhension des relations de récurrence et la manipulation des puissances.

Points de vigilance et notions de cours

• Nature de la suite : Identifier le passage de $h_n$ à $h_{n+1}$ par une multiplication.
• Sens de variation : Savoir qu'une suite géométrique de premier terme positif et de raison comprise entre 0 et 1 est strictement décroissante.
• Conversion d'unités : Attention à la question 2, la hauteur est donnée en centimètres (20 cm) alors que la suite est exprimée en mètres ($0,20$ m).
• Recherche de seuil : Savoir utiliser la calculatrice (menu Table) ou tester des valeurs pour trouver l'entier $n$.

Correction détaillée

1. Étude de la suite
a) On a $h_0 = 2$. $h_1 = 2 \times \frac{4}{5} = 1,6$ m. $h_2 = 1,6 \times \frac{4}{5} = 1,28$ m.
b) Selon l'énoncé, chaque hauteur est égale aux $\frac{4}{5}$ de la précédente, donc $h_{n+1} = \frac{4}{5} h_n$.
c) La suite $(h_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = \frac{4}{5} = 0,8$ et de premier terme $h_0 = 2$.
d) Comme $h_0 > 0$ et $0 < q < 1$, la suite $(h_n)$ est strictement décroissante.

2. Détermination du seuil
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $h_n < 0,20$. La forme explicite est $h_n = 2 \times 0,8^n$. En testant à la calculatrice :
$h_{10} = 2 \times 0,8^{10} \approx 0,2147$ m.
$h_{11} = 2 \times 0,8^{11} \approx 0,1717$ m.
Le nombre minimal de rebonds est donc $N = 11$.