Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une expérience aléatoire répétée : une série de trois tirs au but effectués par un joueur nommé Karim. La probabilité de succès (marquer un but) est constante ($p = 0,7$) et les tirs sont indépendants les uns des autres. Ce contexte correspond parfaitement à un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,7$. L'objectif est de modéliser cette situation à l'aide d'une variable aléatoire $X$ représentant le nombre de buts, puis d'étudier une variable $Y$ représentant un gain financier lié à ces performances.

Points de vigilance et notions de cours

• Indépendance : C'est la condition clé pour multiplier les probabilités le long des branches d'un arbre.
• Arbre pondéré : Pour 3 répétitions, l'arbre comporte $2^3 = 8$ issues finales.
• Loi de probabilité : Il s'agit de lister toutes les valeurs possibles de $X$ ($0, 1, 2, 3$) et d'y associer leurs probabilités respectives.
• Espérance mathématique : Formule $E(X) = \sum p_i x_i$. Pour une loi binomiale, on peut aussi utiliser $E(X) = n \times p$.
• Transformation linéaire : Savoir que si $Y = aX + b$, alors $E(Y) = aE(X) + b$.

Correction détaillée

1. Étude de la variable X

a) L'arbre pondéré : L'arbre possède trois niveaux. À chaque nœud, deux branches partent vers $M$ (probabilité 0,7) et $R$ (probabilité 0,3).
b) Loi de probabilité de X :
Puisque les tirs sont indépendants, $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(3, 0,7)$.
- $P(X=0) = 0,3^3 = 0,027$
- $P(X=1) = 3 \times (0,7^1 \times 0,3^2) = 3 \times 0,063 = 0,189$
- $P(X=2) = 3 \times (0,7^2 \times 0,3^1) = 3 \times 0,147 = 0,441$
- $P(X=3) = 0,7^3 = 0,343$
Vérification : $0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 = 1$.
c) Espérance E(X) :
$E(X) = n \times p = 3 \times 0,7 = 2,1$. En moyenne, Karim marque 2,1 buts par série de 3 tirs.

2. Gain du spectateur

a) Expression de Y : Le spectateur gagne 6 euros par but ($6X$) mais doit soustraire sa mise initiale de 15 euros. Ainsi, $Y = 6X - 15$.
b) Espérance E(Y) : En utilisant la linéarité de l'espérance : $E(Y) = E(6X - 15) = 6E(X) - 15$.
$E(Y) = 6 \times 2,1 - 15 = 12,6 - 15 = -2,4$.
Interprétation : L'espérance est négative. Cela signifie qu'en moyenne, sur un grand nombre de parties, le spectateur perd 2,40 € par jeu. Le jeu est défavorable au joueur.