Oui
Probabilités
Probabilités conditionnelles
Exercice Première Spécialité - 2020 - Ex 4 : Probabilités conditionnelles
1 juin 2020
Première Spécialité
Révise les probabilités conditionnelles avec cet exercice complet de Première Spécialité ! 🎯 Que ce soit pour maîtriser la construction d'un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales ou tester l'indépendance de deux événements, ce sujet est l'entraînement idéal. 📈 Apprends à traduire un énoncé concret en calculs mathématiques rigoureux et prépare sereinement tes prochaines évaluations. C'est l'exercice type indispensable pour valider tes acquis sur les probabilités ! 🚀
✅ Correction
🫣
Correction Masquée
Avez-vous bien cherché l'exercice ?
Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur le chapitre des probabilités du programme de Première Spécialité. L'objectif est de modéliser une situation réelle (répartition d'élèves dans des activités) à l'aide d'un arbre pondéré pour ensuite calculer des probabilités d'intersections, des probabilités totales et tester l'indépendance de deux événements. La structure est classique des sujets d'E3C (Épreuves Communes de Contrôle Continu) de 2020.
Points de vigilance et notions requises
- Construction de l'arbre : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
- Formule des probabilités totales : Pour calculer P(F), il faut sommer les probabilités des chemins menant à F : P(F) = P(M ∩ F) + P(S ∩ F) + P(C ∩ F).
- Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
- Probabilités conditionnelles : Savoir utiliser la formule P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B).
Correction détaillée
1. Arbre pondéré :
Les probabilités au premier niveau sont : P(M) = 30/150 = 0,2 ; P(S) = 45/150 = 0,3 ; P(C) = 75/150 = 0,5.
Pour le second niveau (conditionnelles) :
- Musique : P_M(F) = 0,3 et P_M(non F) = 0,7.
- Sport : P_S(F) = 0,6 et P_S(non F) = 0,4.
- Cinéma : P_C(F) = 0,72 et P_C(non F) = 0,28.
2. Probabilité que l'élève soit une fille inscrite en musique :
Il s'agit de calculer P(M ∩ F) = P(M) × P_M(F) = 0,2 × 0,3 = 0,06.
3. Probabilité que l'élève soit une fille (P(F)) :
D'après la formule des probabilités totales :
P(F) = P(M ∩ F) + P(S ∩ F) + P(C ∩ F)
P(F) = 0,06 + (0,3 × 0,6) + (0,5 × 0,72) = 0,06 + 0,18 + 0,36 = 0,6.
Le résultat est bien 0,6.
4. Indépendance de M et F :
Calculons d'une part P(M ∩ F) = 0,06.
Calculons d'autre part P(M) × P(F) = 0,2 × 0,6 = 0,12.
Puisque P(M ∩ F) ≠ P(M) × P(F), les événements M et F ne sont pas indépendants.
5. Calcul de P_nonF(C) :
On cherche la probabilité que l'élève soit en cinéma sachant que c'est un garçon (non F).
P_nonF(C) = P(C ∩ non F) / P(non F).
P(non F) = 1 - P(F) = 1 - 0,6 = 0,4.
P(C ∩ non F) = 0,5 × 0,28 = 0,14.
P_nonF(C) = 0,14 / 0,4 = 0,35. La probabilité est donc de 0,35.