Analyse du Sujet 4 de Première Spécialité Mathématiques (2020)

Ce sujet de l'année 2020 constitue un excellent support de révision pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. Il balaye un spectre très large du programme, allant de la géométrie analytique à l'optimisation par la dérivation, en passant par les suites numériques et les probabilités conditionnelles. La structure est classique : un QCM de balayage et trois exercices thématiques approfondis.

Exercice 1 : QCM Multitouche

Le QCM (Questionnaire à Choix Multiples) de ce sujet est particulièrement intéressant car il teste des automatismes fondamentaux. La Question 1 porte sur la médiatrice d'un segment. La méthode la plus efficace consiste à vérifier quel vecteur normal correspond au vecteur $\vec{AB}$ et si le milieu du segment appartient à la droite. La Question 2 mobilise les propriétés du produit scalaire : la relation $\vec{MP} \cdot \vec{MN} = 0$ définit par définition le cercle de diamètre $[PN]$.

La Question 3 sur la tangente à une courbe nécessite de connaître la formule $y = g'(a)(x-a) + g(a)$. Une erreur fréquente ici est d'oublier de dériver correctement $x^3$. La Question 4 sur l'axe de symétrie de la parabole ($x = -b/2a$) et la Question 5 sur les inéquations avec l'exponentielle complètent ce tour d'horizon des fonctions.

Exercice 2 : Suites et Modélisation Concrète

L'exercice 2 propose une confrontation entre une suite géométrique (diminution de 6 % par an, soit un coefficient multiplicateur de 0,94) et une suite qui s'apparente à une suite arithmétique (augmentation fixe de 1250 unités).

Notions clés :

• Expression explicite : $u_n = u_0 \times q^n$.
• Somme des termes d'une suite géométrique : $S = u_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• Modélisation de données réelles (Diesel vs Essence).

Le piège classique réside dans le calcul de $n$ pour $u_n < v_n$. À ce stade de l'année, les élèves utilisent généralement la calculatrice (menu table) ou procèdent par tâtonnement, le logarithme népérien n'étant au programme que de Terminale.

Exercice 3 : Probabilités et Algorithmique Python

La première partie repose sur un arbre pondéré classique. Le calcul de la probabilité totale $P(B)$ demande de la rigueur dans la sommation des chemins. La question sur l'indépendance nécessite de vérifier si $P(S \cap B) = P(S) \times P(B)$.

La partie B introduit les variables aléatoires et le calcul de l'espérance mathématique. L'aspect le plus formateur est la fonction Python fournie. Elle implémente le calcul de l'espérance $\sum x_i p_i$. Comprendre que la liste L contient les valeurs de $X$ (gains) et G les probabilités associées est essentiel pour réussir les questions d'algorithmie au baccalauréat.

Exercice 4 : Optimisation et Géométrie dans l'Espace

Cet exercice final est un problème de minimisation. La difficulté principale est la modélisation de l'aire. Il faut exprimer $y$ en fonction de $x$ grâce au volume constant ($V = x \times y \times 16 = 10000$).

Une fois la fonction $f(x)$ établie, la recherche du minimum passe par la dérivation. L'étude du signe de $f'(x) = -20000/x^2 + 32$ permet de dresser le tableau de variations. Ce type de problème est récurrent et prépare idéalement aux épreuves de terminale sur l'étude de fonctions complexes.

Conseils méthodologiques

Pour réussir ce sujet, je conseille aux élèves de bien rédiger les justifications du QCM au brouillon pour éviter les erreurs de signe, très fréquentes sur les dérivées et l'exponentielle. Dans l'exercice sur les suites, soyez vigilants sur l'indice de départ (souvent $n=0$ pour l'année initiale). Enfin, en Python, rappelez-vous que range(n) parcourt les indices de $0$ à $n-1$.