Le sujet 11 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première est un excellent support de révision. Il balaie une large partie du programme officiel, allant des probabilités conditionnelles à l'analyse de fonctions, en passant par la géométrie vectorielle et les suites numériques. Ce sujet se distingue par son équilibre entre questions de cours et applications concrètes, notamment avec l'utilisation du langage Python.

Exercice 1 : Probabilités et Variables Aléatoires

Le premier exercice se présente sous la forme d'un QCM de 5 points portant sur les probabilités. La première partie demande de manipuler des probabilités conditionnelles à partir d'une urne de jetons.

• Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, indépendance.
• Pièges à éviter : Ne pas confondre la probabilité de l'intersection $P(R \cap G)$ avec la probabilité conditionnelle $P_R(G)$. Dans la question 3, l'expression "avec remise" implique l'indépendance des tirages, ce qui simplifie le calcul par une mise au carré.
• Conseil méthodologique : Pour la variable aléatoire $X$, assurez-vous de bien vérifier que la somme des probabilités de la loi est égale à 1 avant de calculer l'espérance $E(X) = \sum p_i x_i$.

Exercice 2 : Géométrie repérée et Produit Scalaire

Cet exercice de géométrie analytique teste la capacité de l'élève à utiliser les outils vectoriels dans un repère orthonormé.

• Analyse : La question 1 nécessite le calcul de distances via la formule $\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$. La question 2 introduit le produit scalaire pour trouver un angle. On utilise la relation $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.
• Point technique : Pour vérifier si H est le projeté orthogonal de B sur (AC), il faut vérifier deux conditions : H appartient à la droite (AC) et le vecteur $\vec{BH}$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{AC}$ (produit scalaire nul).

Exercice 3 : Suites et Algorithmique Python

On étudie ici la dépréciation de la valeur d'un véhicule. C'est un grand classique des suites numériques.

• Nature de la suite : Une baisse de 14% correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - 0,14 = 0,86$. La suite est donc géométrique.
• Python : Le script demande de compléter une boucle while. La condition d'arrêt est liée au seuil de 1500 €. Attention, en Python, la boucle continue tant que la condition est vraie (P > 1500).
• Calcul : L'utilisation de la calculatrice est indispensable pour déterminer l'année où le seuil est franchi si l'on n'utilise pas encore les logarithmes (notion de Terminale).

Exercice 4 : Analyse de fonction et Dérivation

L'exercice final porte sur l'optimisation d'un coût moyen de production d'engrais.

• Équations : La question 2 demande de résoudre $f(x) = 43$, ce qui ramène à une équation du second degré après avoir multiplié par $x$ (puisque $x \in [5; 60]$).
• Optimisation : Pour trouver le coût minimal, il faut dériver $f$. La fonction est de la forme $u/v$. Cependant, une astuce consiste à simplifier $f(x) = x - 15 + 400/x$ pour dériver plus facilement chaque terme.
• Conclusion : On cherche le point où la dérivée s'annule et change de signe pour identifier le minimum local sur l'intervalle donné.

Conclusion globale

Ce sujet 11 est très complet. Il exige une bonne maîtrise du calcul algébrique (second degré), une rigueur dans l'application des formules de géométrie et une compréhension logique des structures algorithmiques. C'est un entraînement idéal pour consolider les bases de la Première Spécialité Mathématiques.