Introduction au Sujet 38 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 38 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue un excellent support de révision pour les épreuves communes de contrôle continu (E3C). Il balaie un spectre large du programme, allant de l'analyse fonctionnelle à la géométrie analytique, en passant par les probabilités et les suites numériques. Sa difficulté est jugée équilibrée, permettant de tester à la fois les connaissances de cours et la capacité de modélisation.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (5 points)

Cet exercice de type QCM teste la rapidité et la précision sur des notions fondamentales.

• Notions clés : Signe d'un trinôme du second degré, simplification trigonométrique, équation cartésienne de droite, nombre dérivé et équation de cercle.
• Pièges à éviter : Dans la question 1, attention au coefficient -3 devant le produit. Il change le sens de l'inéquation lors de l'étude de signe. Pour la question 2, n'oubliez pas que la fonction cosinus est périodique de période 2π, donc cos(x+3π) = cos(x+π).
• Conseils méthodologiques : Pour l'équation du cercle (question 5), la méthode de complétion du carré (forme canonique) est indispensable pour identifier le centre et le rayon à partir de l'équation développée.

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles (5 points)

L'exercice porte sur la gestion d'un snack et utilise un arbre pondéré pour modéliser les choix des clients.

• Notions clés : Arbre de probabilité, probabilité de l'intersection, formule des probabilités totales et probabilité conditionnelle inverse (formule de Bayes).
• Pièges à éviter : Confondre P(S ∩ T) et P_S(T). L'énoncé donne souvent des probabilités conditionnelles (« parmi ceux qui... ») qu'il faut placer sur les branches du second niveau de l'arbre.
• Conseils méthodologiques : Toujours vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. Pour la question 4, l'arrondi à 0,01 est crucial pour obtenir tous les points.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique (5 points)

Ici, on étudie l'entraînement d'un cycliste par le biais d'une suite géométrique.

• Notions clés : Suite géométrique, coefficient multiplicateur (1 + 9/100 = 1,09), expression explicite et somme des termes d'une suite.
• Analyse Python : La fonction fournie utilise une boucle while. Elle cherche le rang n à partir duquel la distance parcourue hebdomadairement dépasse un seuil k. C'est un algorithme de « seuil ».
• Conseils méthodologiques : Pour calculer la distance totale sur 20 semaines, utilisez la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : S = Premier_Terme * (1 - q^nb_termes) / (1 - q). Ne confondez pas la distance de la 20ème semaine avec la distance totale cumulée.

Exercice 4 : Analyse et Optimisation (5 points)

Cet exercice mêle dérivation et géométrie dans un repère pour résoudre un problème d'aire maximale.

• Notions clés : Dérivation d'un polynôme de degré 3, étude de signe de la dérivée, variations d'une fonction et modélisation géométrique.
• Pièges à éviter : Lors de l'expression de l'aire, il faut bien identifier les dimensions du rectangle. La largeur est 2x (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées) et la hauteur est la différence entre l'ordonnée de la droite (y=4) et l'ordonnée du point M (y=x²).
• Conseils méthodologiques : Pour montrer que l'aire est maximale, il faut dresser le tableau de variations complet de la fonction f(x) sur [0 ; 2] et identifier la valeur où la dérivée s'annule en changeant de signe.

Conclusion

Le sujet 38 est un sujet complet qui demande une bonne maîtrise technique, notamment en calcul algébrique. La partie optimisation (Exercice 4) est la plus exigeante, car elle demande de faire le lien entre une situation géométrique et un outil analytique (la dérivée). Une révision rigoureuse des formules de dérivation et des propriétés des suites est la clé du succès pour cette épreuve.