Analyse Globale du Sujet 19 de l'Année 2020

Le sujet 19 de la session 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue une base de révision équilibrée et complète. Ce sujet se divise en quatre exercices de 5 points chacun, couvrant les piliers du programme : l'analyse (fonctions et exponentielles), les suites numériques, l'étude des polynômes et les probabilités. Ce type de sujet est conçu pour tester à la fois la rigueur de calcul et la capacité à modéliser une situation réelle, notamment à travers l'évolution d'un traitement médical ou les choix de services dans une résidence de vacances.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice balaye des notions essentielles de l'analyse et du second degré.

• Notions clés : Factorisation d'un trinôme, propriétés algébriques de la fonction exponentielle, équation de la tangente ($y = f'(a)(x-a) + f(a)$), et dérivation d'un produit du type $(uv)'$.
• Pièges à éviter : Pour la question 1, une erreur classique consiste à oublier le coefficient 'a' lors de la factorisation par les racines. Pour la question 4, ne pas oublier d'appliquer la règle du produit : $(e^x)' = e^x$ mais la fonction est composée d'un polynôme et d'une exponentielle.
• Conseils méthodologiques : Dans un QCM, le calcul rapide au brouillon est primordial. Par exemple, pour l'équation de la tangente, calculez séparément $f'(0)$ et $f(0)$ avant d'assembler la formule.

Exercice 2 : Suites et Modélisation Médicale

Ici, on étudie une suite arithmético-géométrique modélisant l'élimination d'un médicament dans le sang.

• Notions clés : Passage d'un énoncé textuel à une relation de récurrence ($U_{n+1} = 0,8U_n + 1$), algorithmique (boucle 'Tant que'), et conjecture de limite.
• Pièges à éviter : Confondre la valeur de $U_0$ et $U_1$. La lecture du tableau de valeurs doit être précise pour identifier le rang $n$ où la condition 'Tant que' devient fausse.
• Conseils méthodologiques : Lorsque vous interprétez un algorithme, simulez les premières étapes à la main. La question sur la limite demande une observation graphique : ici, les points semblent se stabiliser autour de la droite $y=5$.

Exercice 3 : Analyse de Fonctions Cubiques

L'exercice porte sur une fonction de degré 3 et ses interactions avec des droites.

• Notions clés : Intersection de courbes ($f(x) = y_d$), dérivation et étude de signes pour obtenir les variations.
• Pièges à éviter : Dans la factorisation de la dérivée, vérifiez bien que le signe du coefficient dominant (ici 6) est pris en compte dans votre tableau de signes.
• Conseils méthodologiques : Pour l'intersection de la droite $d$ et de la courbe, il faut toujours égaliser les expressions et regrouper les termes d'un seul côté pour obtenir une équation égale à zéro, ce qui facilite la factorisation par $x$.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles et Variables Aléatoires

Un exercice classique de probabilités appliquées à la gestion client.

• Notions clés : Arbre pondéré, probabilités totales, probabilités conditionnelles (formule de Bayes), et loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$.
• Pièges à éviter : Ne pas confondre $P(C \cap M)$ et $P_C(M)$. La première est l'intersection (chemin complet), la seconde est la probabilité sachant que $C$ est réalisé (branche).
• Conseils méthodologiques : Sommez toujours les branches issues d'un même nœud pour vérifier qu'elles égalent 1. Pour la variable aléatoire $X$, listez clairement toutes les issues possibles et leurs coûts associés avant de calculer les probabilités.

Conclusion

Ce sujet 19 est une excellente préparation aux évaluations de fin d'année. Il demande une maîtrise fluide des outils de calcul (dérivées, puissances d'exponentielle) et une bonne lecture graphique. Pour réussir, l'élève doit particulièrement soigner la rédaction des justifications, même quand elles semblent simples comme dans l'exercice sur les suites.