Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu du sujet de Première Spécialité Mathématiques d'Amérique du Nord 2021. Il balaie une large partie du programme : les propriétés de la fonction exponentielle, la géométrie analytique (vecteurs et droites), le calcul de dérivées composées, les formules de trigonométrie et l'interprétation graphique du nombre dérivé. La structure de l'exercice permet d'évaluer rapidement la maîtrise des automatismes fondamentaux.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul algébrique : Savoir factoriser et développer avec l'exponentielle, notamment en utilisant $e^{a+b} = e^a \times e^b$.
• Géométrie : Distinguer vecteur normal ($ax+by+c=0 \rightarrow \vec{n}(a;b)$) et vecteur directeur ($\vec{u}(-b;a)$). Maîtriser le produit scalaire pour l'orthogonalité.
• Dérivation : Appliquer la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ et la dérivée de $e^{ax+b}$ qui est $a e^{ax+b}$.
• Trigonométrie : Connaître les relations de symétrie sur le cercle trigonométrique (angles associés).
• Graphique : Se rappeler que $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.

Correction détaillée

Question 1 : En développant la réponse c, on obtient $e^{3x}(e^x + e^{-x}) = e^{3x}e^x + e^{3x}e^{-x} = e^{3x+x} + e^{3x-x} = e^{4x} + e^{2x}$. C'est la bonne réponse.

Question 2 : Calculons le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = (-5 \times 4) + (2 \times 10) = -20 + 20 = 0$. Les vecteurs sont donc orthogonaux. Réponse c.

Question 3 : $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$. Posons $u(x) = 2x - 1 \implies u'(x) = 2$ et $v(x) = e^{-x} \implies v'(x) = -e^{-x}$.
$f'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x}) = e^{-x}(2 - (2x - 1)) = e^{-x}(2 - 2x + 1) = (-2x + 3)e^{-x}$. Réponse c.

Question 4 : D'après les formules des angles associés sur le cercle trigonométrique, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$. Réponse a.

Question 5 : $f'(0)$ est la pente de la tangente $T$ au point d'abscisse $0$. Graphiquement, la droite passe par $(0 ; 3)$ et $(0.6 ; 0)$. Le coefficient directeur est $m = (0 - 3) / (0.6 - 0) = -3 / 0.6 = -5$. Réponse d.