Analyse de l'énoncé et thématique

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'application concrète des suites numériques, et plus précisément des suites géométriques, à un problème d'écologie urbaine : la réduction des déchets ménagers. L'énoncé demande de modéliser une baisse annuelle de 1,5 %, de déterminer la forme explicite de la suite associée, puis de manipuler un algorithme en langage Python pour trouver un seuil.

Points de vigilance et notions clés

• Coefficient multiplicateur : Savoir transformer une baisse de $t\%$ en un coefficient multiplicateur $k = 1 - \frac{t}{100}$. Ici, une baisse de 1,5 % correspond à multiplier par 0,985.
• Nature de la suite : Identifier qu'une relation de type $d_{n+1} = q \times d_n$ définit une suite géométrique de raison $q$.
• Expression fonctionnelle : Maîtriser la formule $u_n = u_0 \times q^n$ pour les suites géométriques.
• Algorithmique Python : Comprendre le fonctionnement d'une boucle 'While' (tant que) et la mise à jour des variables de stock et de compteur.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de $d_1$ : Une diminution de 1,5 % revient à calculer $d_0 - 0,015 \times d_0$, soit $(1 - 0,015)d_0$. Ainsi, $d_1 = 0,985 \times 537 \approx 529$ kg. Le coefficient multiplicateur est bien 0,985.

2. Expression de $d_{n+1}$ : Chaque année, la production est multipliée par 0,985. On a donc la relation de récurrence $d_{n+1} = 0,985 \times d_n$.

3. Nature et terme général : La suite $(d_n)$ est une suite géométrique de premier terme $d_0 = 537$ et de raison $q = 0,985$. On en déduit l'expression explicite pour tout entier $n$ : $d_n = 537 \times 0,985^n$.

4. Algorithme Python :
Le seuil visé est 513 kg. L'algorithme doit continuer tant que la production est strictement supérieure à ce seuil.
Ligne 4 : While d > 513 :
Ligne 6 : d = d * 0.985 (ou d *= 0.985).

5. Détermination de l'année : On cherche $n$ tel que $537 \times 0,985^n < 513$. En utilisant la calculatrice (menu table ou calculs successifs) :
- Pour $n=3$ : $d_3 \approx 537 \times 0,9556 \approx 513,19$ (toujours supérieur à 513).
- Pour $n=4$ : $d_4 \approx 537 \times 0,9413 \approx 505,49$ (inférieur à 513).
L'année correspondante est $2019 + 4 = 2023$. La production sera inférieure au niveau national à partir de 2023.