Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité de 2020, porte sur l'étude de l'évolution d'une population (ici, des abonnés à une plateforme de streaming) à travers deux prismes mathématiques majeurs du programme : les taux d'évolution et les suites géométriques. L'énoncé se termine par une application pratique en Python, demandant de compléter un algorithme de seuil, une compétence fondamentale pour l'épreuve de mathématiques.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- Le taux d'évolution : Savoir calculer une variation relative avec la formule (Valeur Finale - Valeur Initiale) / Valeur Initiale.
- Le taux d'évolution moyen : Comprendre qu'un taux moyen sur $n$ périodes n'est pas la moyenne arithmétique des taux, mais se calcule via le coefficient multiplicateur global : $CM_{moyen} = (CM_{global})^{1/n}$.
- Les suites géométriques : Une augmentation de $t\%$ correspond à une multiplication par $(1 + t/100)$. Une suite où l'on multiplie chaque terme par une constante est une suite géométrique.
- Algorithmique Python : Savoir interpréter une boucle
while (tant que) pour la recherche de seuil.
Correction détaillée
1. Évolution entre 2016 et 2017 :
Le nombre d'abonnés passe de 12 à 13,7 millions. Le calcul est : $\frac{13,7 - 12}{12} \approx 0,14166...$, soit environ 14,17 % d'augmentation.
2. Taux d'évolution moyen entre 2016 et 2019 :
Il s'est écoulé 3 ans (2019-2016). Soit $T_m$ le taux moyen. On a la relation : $12 \times (1 + T_m)^3 = 18,2$.
D'où $(1 + T_m)^3 = \frac{18,2}{12} \approx 1,5166$.
En prenant la racine cubique : $1 + T_m = (\frac{18,2}{12})^{1/3} \approx 1,1489$.
On retrouve bien un taux $T_m \approx 0,1489$, soit 14,89 %.
3. Modélisation par une suite :
Si le nombre d'abonnés augmente de 15 % chaque année, on multiplie par $1 + 0,15 = 1,15$.
La suite est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 12$ et de raison $q = 1,15$.
4. Estimation pour 2020 :
2020 correspond au rang $n=4$ (si 2016 est $n=0$).
$u_4 = u_0 \times q^4 = 12 \times 1,15^4 \approx 20,988$.
Selon ce modèle, il y aura environ 20,99 millions d'abonnés fin 2020.
5. Algorithme Python :
Pour trouver quand le nombre d'abonnés $A$ dépasse 40 millions :
Ligne 4 : while A < 40: (Tant que l'objectif n'est pas atteint).
Ligne 5 : A = A * 1.15 (On applique l'augmentation annuelle).