Analyse de l'énoncé et contexte
Cet exercice, issu des épreuves de Première Spécialité de 2020, propose une application concrète des suites numériques dans le domaine de la finance (intérêts composés). L'objectif est de modéliser l'évolution d'un capital de $5\,000$ euros placé à un taux annuel fixe de 5 %. Cette situation est un classique des mathématiques de Première, car elle permet de manipuler les passages entre pourcentages d'évolution et coefficients multiplicateurs.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales doivent être maîtrisées :
- Le coefficient multiplicateur : Savoir qu'une augmentation de $t\%$ correspond à une multiplication par $(1 + \frac{t}{100})$. Ici, augmenter de 5 % revient à multiplier par $1,05$.
- Définition d'une suite géométrique : Reconnaître qu'une suite où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par une constante est une suite géométrique.
- Formule explicite : Connaître la relation $u_n = u_0 \times q^n$ pour une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$.
- Usage de la calculatrice : Savoir calculer des puissances élevées (comme $1,05^{15}$) pour vérifier des seuils de croissance.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de $u_2$ et interprétation
Le capital initial est $u_0 = 5\,000$. Après un an, il augmente de 5 %, soit $u_1 = 5\,000 \times 1,05 = 5\,250$.
Après deux ans, on applique de nouveau le taux de 5 % sur le nouveau capital : $u_2 = 5\,250 \times 1,05 = 5\,512,5$.
Interprétation : Cela signifie qu'après deux ans de placement, le capital disponible sur le compte est de $5\,512,50$ euros.
2. Expression de $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$
Puisque le capital augmente de 5 % chaque année, on passe du capital de l'année $n$ au capital de l'année $n+1$ en multipliant par $1,05$.
On a donc la relation de récurrence : $u_{n+1} = 1,05 \times u_n$.
3. Nature de la suite
D'après la relation précédente, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique. Son premier terme est $u_0 = 5\,000$ et sa raison est $q = 1,05$.
4. Expression de $u_n$ en fonction de $n$
En appliquant la formule du cours pour les suites géométriques, on obtient le terme général :
$u_n = u_0 \times q^n = 5\,000 \times 1,05^n$.
5. Justification du doublement du capital
Calculons le capital après 15 ans : $u_{15} = 5\,000 \times 1,05^{15}$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $1,05^{15} \approx 2,0789$.
Ainsi, $u_{15} \approx 5\,000 \times 2,0789 \approx 10\,394,64$.
Comme $10\,394,64 > 10\,000$ (qui est le double de $5\,000$), le capital a effectivement plus que doublé après 15 années de placement.