Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent test de synthèse pour le milieu d'année de Première Spécialité. Il couvre deux piliers majeurs du programme : les suites numériques (arithmétiques et géométriques) et l'étude des fonctions du second degré sous leurs formes canonique et développée.

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il est crucial de connaître la relation entre deux termes quelconques d'une suite arithmétique $u_n = u_p + (n-p)r$ et la formule de la somme des premiers entiers naturels.
• Second degré : La maîtrise de la forme canonique $a(x-\alpha)^2 + \beta$ est indispensable pour identifier les variations sans passer par la dérivée. Pour les inéquations, le calcul des racines et la règle du signe du trinôme sont requis.

Correction détaillée

Question 1 : Pour une suite arithmétique, la raison $r$ vérifie $u_{10} = u_4 + (10-4)r$. Ainsi, $18 = 3 + 6r$, d'où $6r = 15$ soit $r = 2,5$. On teste alors la proposition (c) : $u_{12} = u_{10} + 2r = 18 + 2 \times 2,5 = 23$. Réponse c.

Question 2 : La somme des entiers de 1 à $n$ est donnée par $\frac{n(n+1)}{2}$. Pour $n=1000$, la somme est $\frac{1000 \times 1001}{2} = 500500$. L'énoncé demande la somme de 2 à 1000, il faut donc soustraire le premier terme (1) : $500500 - 1 = 500499$. Réponse d.

Question 3 : La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,3$. Comme $-1 < 0,3 < 1$, la limite d'une telle suite est toujours $0$, quel que soit le premier terme $v_0$. Réponse a.

Question 4 : La fonction est sous forme canonique avec $a = -2$, $\alpha = -2$ et $\beta = -3$. Puisque $a < 0$, la parabole est tournée vers le bas. La fonction est donc croissante sur $]-\infty ; -2]$ et décroissante sur $[-2 ; +\infty[$. La proposition (b) est donc exacte. Réponse b.

Question 5 : Pour $x^2 - 5x + 6 < 0$, on cherche les racines. Le discriminant est $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. Les racines sont $x_1 = \frac{5-1}{2} = 2$ et $x_2 = \frac{5+1}{2} = 3$. Le coefficient $a=1$ est positif, donc le trinôme est négatif strictement entre les racines. Réponse c.