Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'étude de deux modèles de croissance différents à travers les suites numériques. L'énoncé présente une situation concrète de lancement de produit (un journal) où deux estimations de ventes sont comparées :
- Une croissance proportionnelle (pourcentage constant), ce qui caractérise une suite géométrique.
- Une croissance linéaire (augmentation fixe), ce qui caractérise une suite arithmétique.
L'enjeu est de savoir passer de l'énoncé textuel à la modélisation mathématique, de maîtriser l'outil tableur et d'interpréter un tableau de valeurs pour résoudre une inéquation de comparaison.
Points de vigilance et notions de cours
Il est crucial de bien identifier le premier terme. Ici, les suites commencent à $n=1$ ($u_1 = v_1 = 1000$). Cela influence la formule du terme général :
- Pour une suite arithmétique de raison $r$ : $v_n = v_1 + (n-1)r$.
- Pour une suite géométrique de raison $q$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
L'autre point d'attention est la manipulation des taux d'évolution : une augmentation de $3\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{3}{100} = 1,03$.
Correction détaillée
1. Formule Tableur : En cellule B3, on cherche à calculer le terme suivant de la suite géométrique à partir du terme précédent situé en B2. La formule est : =B2*1,03.
2. Nature des suites :
- Suite $(u_n)$ : À chaque étape, on multiplie le terme précédent par $1,03$. C'est donc une suite géométrique de premier terme $u_1 = 1000$ et de raison $q = 1,03$.
- Suite $(v_n)$ : À chaque étape, on ajoute 40 au terme précédent. C'est donc une suite arithmétique de premier terme $v_1 = 1000$ et de raison $r = 40$.
3. Expression des termes généraux :
- Pour $(v_n)$ : $v_n = v_1 + (n-1) \times 40 = 1000 + 40n - 40 = 960 + 40n$. On retrouve bien l'expression demandée.
- Pour $(u_n)$ : $u_n = u_1 \times q^{n-1} = 1000 \times 1,03^{n-1}$.
4. Comparaison des modèles : On étudie le signe de $w_n = v_n - u_n$. On cherche quand $u_n > v_n$, ce qui équivaut à $v_n - u_n < 0$, soit $w_n < 0$. D'après le tableau de valeurs fourni, la suite $w_n$ devient négative pour la première fois à l'indice $n = 21$ ($w_{21} = -6$). La première estimation devient donc supérieure à la deuxième à partir de la 21ème semaine.