Analyse de l'énoncé et thématique
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète (la croissance d'un club de sport) à l'aide des suites numériques. Il s'agit d'un thème central du programme de mathématiques de Première Spécialité, sollicitant la compréhension des évolutions en pourcentage et la manipulation des suites géométriques.
Points de vigilance et notions clés
- Modélisation d'un pourcentage : Une hausse de 5 % correspond à multiplier par un coefficient multiplicateur $C_m = 1 + \frac{5}{100} = 1,05$.
- Définition de l'indice : Il est crucial de noter que $n=0$ correspond à l'année 2018. Ainsi, l'année $2018+n$ impose de bien décaler ses calculs pour les interprétations temporelles.
- Nature de la suite : Le passage d'un terme au suivant par multiplication d'une constante définit une suite géométrique.
- Calcul de seuil : En classe de Première, la résolution de $u_n > 700$ se fait généralement par tâtonnement à la calculatrice ou via le menu 'Table'.
Correction détaillée
1. Calcul de $u_1$ et $u_2$ :
On applique le coefficient multiplicateur :
$u_1 = u_0 \times 1,05 = 416 \times 1,05 = 436,8$. En arrondissant à l'unité, on obtient $u_1 \approx 437$.
$u_2 = u_1 \times 1,05 = 436,8 \times 1,05 = 458,64$. Soit $u_2 \approx 459$.
2. Nature de la suite :
Puisque chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $1,05$, la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 416$ et de raison $q = 1,05$.
3. Expression du terme général :
D'après le cours sur les suites géométriques, $u_n = u_0 \times q^n$.
D'où $u_n = 416 \times 1,05^n$ pour tout entier naturel $n$.
4. Calcul et interprétation de $u_7$ :
$u_7 = 416 \times 1,05^7 \approx 585,35$.
En 2025 ($2018 + 7$), le club comptera environ 585 adhérents.
5. Recherche du seuil :
On cherche $n$ tel que $416 \times 1,05^n > 700$.
À l'aide de la calculatrice :
Pour $n=10$, $u_{10} \approx 677$.
Pour $n=11$, $u_{11} \approx 711$.
Le seuil est atteint pour $n=11$, soit en l'année $2018 + 11 = 2029$.