Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude des suites numériques, une notion centrale du programme de Première Spécialité. Il confronte deux types de suites : une suite arithmético-géométrique \((u_n)\) définie par récurrence et une suite géométrique classique \((v_n)\). L'objectif est de mobiliser les formules de calcul de termes, la somme de termes d'une suite géométrique, ainsi que la traduction algorithmique d'un calcul de somme via le langage Python. L'exercice se termine par l'utilisation d'une relation explicite entre les deux suites pour calculer un terme de rang élevé.

Points de vigilance et notions requises

• Nature des suites : Savoir démontrer qu'une suite n'est ni arithmétique ni géométrique en calculant les premiers termes et en comparant les différences et les rapports.
• Somme géométrique : La formule \(S = v_{premier} \times \frac{1-q^n}{1-q}\) doit être connue par cœur, en faisant attention au nombre de termes \(n\).
• Structure Python : Dans une boucle de calcul de somme, l'ordre des instructions est crucial. On ajoute le terme courant à la somme avant de calculer le terme suivant, ou inversement, selon l'initialisation.
• Puissances : Comprendre que \(v_n = v_0 \times q^n\).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul des termes :
Pour \(u_n\) : \(u_1 = 0,9 \times 400 + 60 = 360 + 60 = 420\). Puis \(u_2 = 0,9 \times 420 + 60 = 378 + 60 = 438\).
Pour \(v_n\) : \(v_1 = -200 \times 0,9 = -180\). Puis \(v_2 = -180 \times 0,9 = -162\).

2. Somme des 20 premiers termes de \((v_n)\) :
Il s'agit de la somme de \(v_0\) à \(v_{19}\). Formule : \(S_{20} = v_0 \frac{1 - 0,9^{20}}{1 - 0,9} = -200 \frac{1 - 0,9^{20}}{0,1} = -2000(1 - 0,9^{20})\).
À la calculatrice, cela donne environ \(-1756,84\).

3. Nature de la suite \((u_n)\) :
\(u_1 - u_0 = 20\) et \(u_2 - u_1 = 18\). Les différences ne sont pas constantes, donc \((u_n)\) n'est pas arithmétique.
\(u_1 / u_0 = 1,05\) et \(u_2 / u_1 = 438/420 \approx 1,043\). Les rapports ne sont pas constants, donc \((u_n)\) n'est pas géométrique.

4. Compléter le script Python :
Le but est de sommer les 20 premiers termes (de \(u_0\) à \(u_{19}\)).
S = S + U (on ajoute le terme actuel à la somme).
U = 0.9 * U + 60 (on prépare le terme suivant).
return S.

5. Calcul de \(u_{20}\) :
On utilise la relation \(u_n = v_n + 600\). Comme \(v_n = -200 \times 0,9^n\), on a \(u_n = -200 \times 0,9^n + 600\).
Pour \(n=20\) : \(u_{20} = -200 \times 0,9^{20} + 600 \approx 575,68\).