Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet 9 de 2020 pour la classe de Première Spécialité, propose une application concrète de la géométrie analytique et du produit scalaire dans un contexte d'aménagement urbain (une place touristique). L'objectif est double : évaluer la proportion d'une surface éclairée par un projecteur et déterminer l'angle d'ouverture de ce faisceau lumineux. L'exercice mobilise des compétences fondamentales en repérage, calcul vectoriel et trigonométrie.

Points de vigilance et notions requises

• Lecture de coordonnées : Il est crucial de traduire correctement les données vectorielles (comme $\vec{CL} = \frac{1}{5}\vec{CB}$) pour obtenir les coordonnées des points dans le repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
• Calcul d'aires : La surface éclairée n'est pas un triangle simple. La méthode la plus efficace consiste à soustraire les aires des triangles non éclairés (OAK et OCL) de l'aire totale du rectangle OABC.
• Produit scalaire : On utilise ici la définition analytique $xx' + yy'$ pour obtenir une valeur numérique, puis la définition géométrique avec le cosinus pour retrouver l'angle.
• Normes de vecteurs : Le calcul de l'angle nécessite de connaître les longueurs $OK$ et $OL$ via la formule de la distance dans un repère orthonormé.

Correction détaillée

1. Coordonnées des points :
D'après l'énoncé, $O(0;0)$, $C(24;0)$, $A(0;35)$. Comme $OABC$ est un rectangle, $B$ a pour coordonnées $(24;35)$.
$K$ est le milieu de $[AB]$, donc $K(\frac{0+24}{2}; 35) = (12;35)$.
Pour $L$, on a $\vec{CL} = \frac{1}{5}\vec{CB}$. Comme $\vec{CB}$ a pour coordonnées $(0;35)$, alors $\vec{CL}$ a pour coordonnées $(0;7)$. En partant de $C(24;0)$, on trouve $L(24;7)$.

2. Analyse de la surface éclairée :
Aire du rectangle $OABC = 24 \times 35 = 840$.
Aire du triangle $OAK = \frac{OA \times AK}{2} = \frac{35 \times 12}{2} = 210$.
Aire du triangle $OCL = \frac{OC \times CL}{2} = \frac{24 \times 7}{2} = 84$.
Aire éclairée = $840 - 210 - 84 = 546$.
Proportion : $\frac{546}{840} = 0,65$, soit 65%. L'affirmation « Moins de 70% de la surface est éclairée » est donc exacte.

3. Produit scalaire et angle :
a) $\vec{OK}(12;35)$ et $\vec{OL}(24;7)$.
b) $\vec{OK} \cdot \vec{OL} = 12 \times 24 + 35 \times 7 = 288 + 245 = 533$.
c) $|\vec{OK}| = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{1369} = 37$ et $|\vec{OL}| = \sqrt{24^2 + 7^2} = \sqrt{625} = 25$.
On a $\vec{OK} \cdot \vec{OL} = OK \times OL \times \cos(\widehat{KOL})$, donc $533 = 37 \times 25 \times \cos(\widehat{KOL}) = 925 \cos(\widehat{KOL})$.
$\cos(\widehat{KOL}) = \frac{533}{925} \approx 0,576$.
À l'aide de la calculatrice, $\widehat{KOL} \approx 55^\circ$.