Analyse détaillée du QCM de Première Spécialité (Sujet 38 - 2020)

Cet exercice sous forme de QCM est un excellent indicateur de la maîtrise des outils de base du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de cinq domaines distincts : les inéquations, la trigonométrie, l'équation de droite, la dérivation et l'équation de cercle.

1. Étude de signe du second degré

Pour l'inéquation $-3(x-2)(x+1) > 0$, nous sommes en présence d'un trinôme sous forme factorisée. Les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = -1$. Le coefficient dominant $a = -3$ est négatif. Le cours nous enseigne qu'un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines et du signe opposé à l'intérieur. Ici, il est positif (signe de $-a$) entre $-1$ et $2$. L'ensemble des solutions est donc $]-1 ; 2[$.

2. Réduction trigonométrique

Le cercle trigonométrique est l'outil indispensable ici. La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$. Ainsi, $\cos(x + 3\pi) = \cos(x + \pi + 2\pi) = \cos(x + \pi)$. Par les formules de symétrie centrale par rapport à l'origine sur le cercle, on sait que $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$. La réponse exacte est donc $-\cos(x)$.

3. Géométrie analytique : Droites et vecteurs

Un vecteur normal $\vec{v}(a ; b)$ induit une équation cartésienne de type $ax + by + c = 0$. Avec $\vec{v}(2 ; -3)$, on obtient $2x - 3y + c = 0$. En substituant les coordonnées du point $A(1 ; 2)$, nous avons $2(1) - 3(2) + c = 0$, soit $2 - 6 + c = 0$, d'où $c = 4$. L'équation est $2x - 3y + 4 = 0$. En isolant $y$, on retrouve la forme réduite $y = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}$.

4. Dérivation et pente de tangente

Le coefficient directeur de la tangente en un point d'abscisse $a$ est la valeur de la dérivée $f'(a)$. Pour $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$, on utilise la règle du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = x+1$. On obtient $f'(x) = \frac{2x(x+1) - 1(x^2)}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$. En remplaçant $x$ par 1, on trouve $f'(1) = \frac{1^2 + 2(1)}{(1+1)^2} = \frac{3}{4}$.

5. Équation de cercle

L'équation $x^2 - 2x + y^2 + 4y = 4$ doit être transformée par la méthode de complétion du carré : $(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 = 4$, ce qui donne $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9$. On reconnaît l'équation d'un cercle de centre $(1 ; -2)$ et de rayon $R = \sqrt{9} = 3$.