Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'étude de deux modèles de diffusion d'un médicament dans le sang : l'injection intraveineuse ($f_1$) et l'administration orale ($f_2$). L'enjeu est de manipuler la fonction exponentielle, de calculer une dérivée de produit et d'interpréter des variations de fonctions dans un contexte concret de pharmacologie.

Points de vigilance et notions clés

• Dérivation de $e^{at}$ : La dérivée de $t \mapsto e^{at}$ est $t \mapsto a e^{at}$. Pour $f_1$, $a = -0,57$.
• Dérivation d'un produit : La fonction $f_2$ est de la forme $u \times v$ avec $u(t) = 1,75t$ et $v(t) = e^{-t}$. La formule $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable.
• Interprétation graphique : La résolution d'inéquations type $f_1(t) < 0,1$ nécessite une lecture précise de l'axe des ordonnées.
• Signe de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.

Guide de résolution détaillé

1. Injection par voie intraveineuse

Pour $f_1(t) = e^{-0,57t}$, la dérivée est $f_1'(t) = -0,57e^{-0,57t}$. Comme l'exponentielle est toujours positive, $f_1'(t) < 0$, donc la fonction est strictement décroissante sur $[0 ; 10]$. Graphiquement, pour $f_1(t) < 0,1$, on trace la droite horizontale $y=0,1$. La courbe $C_1$ passe en dessous pour $t \approx 4$. Cela signifie qu'après environ 4 heures, il reste moins de 10 % du médicament initial.

2. Administration par voie orale

On dérive $f_2(t) = 1,75t e^{-t}$. En posant $u(t) = 1,75t$ ($u'(t)=1,75$) et $v(t)=e^{-t}$ ($v'(t)=-e^{-t}$), on obtient :
$f_2'(t) = 1,75e^{-t} + 1,75t(-e^{-t}) = 1,75(1-t)e^{-t}$.
Le signe de $f_2'(t)$ dépend uniquement de $(1-t)$. La dérivée est positive sur $[0 ; 1]$, nulle en $1$, et négative sur $[1 ; 10]$. La proportion est donc maximale à $t = 1$ heure, avec une valeur de $f_2(1) = 1,75e^{-1} \approx 0,64$.