Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu d'un sujet de Première Spécialité de 2020, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) à cinq questions indépendantes. Ce format est idéal pour tester la polyvalence des élèves sur des chapitres clés : la dérivation (lecture graphique et calcul), la trigonométrie, l'étude de signe d'un trinôme du second degré et la manipulation de la fonction exponentielle.
Point de vigilance : Lecture graphique et calcul de dérivée
Dans la Question 1, il s'agit de déterminer l'équation d'une tangente $\mathcal{T}$. Rappelons que l'équation réduite est de la forme $y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Ici, au point $A(-3 ; 3)$, on sait déjà que si $x = -3$, alors $y = 3$. En testant les propositions, seule la réponse c ($y = 5(-3) + 18 = 3$) et la b conviennent sur le point de passage. Pour trancher, on regarde la pente (coefficient directeur) : graphiquement, la droite monte, le coefficient est donc positif. Le calcul $f'(-3) = 5$ est confirmé par le déplacement graphique.
La Question 2 lie la fonction $f$ à sa dérivée $f'$. On observe que $f'(-3) = 5$. En examinant les graphiques proposés, seule la courbe b passe par le point $(-3 ; 5)$.
Maîtrise de la trigonométrie et du cercle unité
La Question 3 demande de simplifier une expression trigonométrique. Il est crucial de connaître les formules de réduction :
- $\cos(x + \pi) = -\cos(x)$
- $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos(x)$
En additionnant les deux termes, on obtient $-\cos(x) + \cos(x) = 0$. La réponse exacte est donc la
b.
Second degré et Exponentielle
Dans la Question 4, on étudie le signe de $f(x) = -2x^2 + 4x + 6$. C'est une parabole tournée vers le bas ($a = -2 < 0$). Les racines sont trouvées via le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4(-2)(6) = 16 + 48 = 64$. Les racines sont $x_1 = \frac{-4-8}{-4} = 3$ et $x_2 = \frac{-4+8}{-4} = -1$. Le trinôme est du signe de $-a$ (donc positif) entre les racines, soit sur $]-1 ; 3[$. Réponse b.
Enfin, pour la Question 5, on dérive un produit $u \times v$ avec $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^x$. La formule $h' = u'v + uv'$ donne $h'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2 + 2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$. Réponse b.