Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent test de synthèse pour un élève de Première Spécialité. Il couvre trois piliers majeurs du programme : l'analyse (dérivation et tangentes), l'algèbre (exponentielles et propriétés des puissances) et l'étude des fonctions polynômes du second degré. L'objectif est d'évaluer la rapidité d'exécution et la précision des calculs sur des notions fondamentales.

Points de vigilance et notions requises

• Interprétation graphique : Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur.
• Propriétés de l'exponentielle : Rappelons que $\frac{e^a \times e^b}{e^c} = e^{a+b-c}$.
• Second degré : Savoir identifier graphiquement les racines et le signe du coefficient $a$ (concavité) ainsi que résoudre une inéquation via le calcul du discriminant $\Delta$.

Correction détaillée

Question 1 : Le nombre $f'(4)$ est la pente de la droite $\mathcal{D}$. On observe graphiquement que la droite passe par le point $A(4; -1)$ et le point de coordonnées $(3; 1)$. La pente est donc $m = \frac{1 - (-1)}{3 - 4} = \frac{2}{-1} = -2$. La réponse est b.

Question 2 : Pour $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$, on a $f'(x) = 3x^2 - 4x$. En $x=1$, $f(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ et $f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = -1$. L'équation est $y = -1(x - 1) + 0$, soit $y = -x + 1$. La réponse est c.

Question 3 : En appliquant les règles de calcul : $\frac{e^x \times e^{-3x}}{e^{-x}} = \frac{e^{x-3x}}{e^{-x}} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-2x - (-x)} = e^{-x}$. La réponse est a.

Question 4 : La parabole coupe l'axe des ordonnées en $-4$, donc $f(0)=-4$. Les racines sont $-2$ et $1$. La forme factorisée est $a(x+2)(x-1)$. Avec $f(0)=-4$, on a $a(2)(-1) = -4$, d'où $a=2$. L'expression est $2(x+2)(x-1) = 2(x^2+x-2) = 2x^2+2x-4$. La réponse est c.

Question 5 : Pour $-x^2 - 2x + 8 > 0$, les racines sont $x_1 = 2$ et $x_2 = -4$. Le coefficient $a = -1$ est négatif, la parabole est donc tournée vers le bas. Le trinôme est positif entre les racines. L'ensemble des solutions est $]-4 ; 2[$. La réponse est b.