Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation de phénomènes d'évolution à l'aide des suites numériques. Il se décompose en deux parties distinctes : l'étude d'une croissance linéaire (température) via une suite arithmétique et l'étude d'une décroissance exponentielle (précipitations) via une suite géométrique. Enfin, il intègre une dimension algorithmique avec l'interprétation d'un script Python.
Points de vigilance et notions clés
- Nature des suites : Il est crucial de savoir justifier la nature d'une suite. Une augmentation constante de valeur absolue implique une suite arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$), tandis qu'une variation en pourcentage implique une suite géométrique ($u_{n+1} = u_n \times q$).
- Formules explicites : Pour répondre aux questions sur le long terme, il faut passer de la relation de récurrence à la forme explicite : $T_n = T_0 + n \times r$ et $P_n = P_0 \times q^n$.
- Algorithmique : Comprendre la boucle
while (Tant que). Le programme s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.
Correction détaillée de l'exercice
1. Étude de la température (Suite Arithmétique)
a. On ajoute chaque année 1,4°C. La suite $(T_n)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $T_0 = 14$ et de raison $r = 1,4$.
b. On cherche $n$ tel que $T_n > 35$. On utilise la forme explicite : $14 + 1,4n > 35$.
En résolvant l'inéquation : $1,4n > 21$, soit $n > \frac{21}{1,4} = 15$.
L'année correspondante est $2018 + 15 = 2033$. En 2033, la France deviendrait inhabitable selon ce modèle.
2. Étude des précipitations (Suite Géométrique et Python)
a. Une baisse de 10% revient à multiplier par $1 - \frac{10}{100} = 0,9$. La suite $(P_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $P_0 = 673$ et de raison $q = 0,9$.
b. Expression fonctionnelle : Pour tout $n$, $P_n = 673 \times 0,9^n$.
c. Analyse du programme Python : La variable $J$ représente le seuil de précipitations. La boucle while I > J calcule les termes successifs de la suite tant qu'ils restent supérieurs à $J$. La valeur renvoyée est l'année (2018 + $n$) où les précipitations passent pour la première fois en dessous de ce seuil. Ainsi, 2026 est l'année à partir de laquelle les précipitations moyennes seront inférieures à 300 mm.