Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur la modélisation de situations concrètes à l'aide de suites numériques. Il compare deux types de croissance : une croissance linéaire (augmentation fixe) modélisée par une suite arithmétique, et une croissance exponentielle (augmentation proportionnelle) modélisée par une suite géométrique. C'est un exercice classique qui évalue la capacité de l'élève à passer d'un énoncé textuel à une formalisation mathématique, tout en intégrant une dimension algorithmique avec le langage Python.
Points de vigilance et notions de cours
- Suites arithmétiques : Une suite est arithmétique si l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel $r$ (la raison). La formule explicite est $u_n = u_0 + n \times r$.
- Suites géométriques : Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre réel $q$ (la raison). Pour une augmentation de $t\%$, le coefficient multiplicateur est $q = 1 + \frac{t}{100}$. Ici, $+5\%$ correspond à $q = 1,05$. La formule explicite est $v_n = v_0 \times q^n$.
- Python : La structure
while est une boucle conditionnelle. Elle s'exécute tant que la condition est vraie. Il est crucial d'identifier la condition d'arrêt (ici, quand le loyer du contrat n°2 devient strictement supérieur à celui du contrat n°1).
Correction détaillée
1. Étude de la suite $(u_n)$ :
a) Le loyer augmente de 200 € par an. $u_1 = u_0 + 200 = 3600 + 200 = 3800$ €.
b) La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0 = 3600$ et de raison $r = 200$. L'expression générale est $u_n = 3600 + 200n$. Pour l'année 2030, $n = 2030 - 2020 = 10$. On calcule $u_{10} = 3600 + 200 \times 10 = 5600$ €.
2. Étude de la suite $(v_n)$ :
a) Le loyer augmente de $5\%$. Multiplier par $1,05$ revient à ajouter $5\%$. $v_1 = 3600 \times 1,05 = 3780$ €.
b) La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0 = 3600$ et de raison $q = 1,05$. L'expression générale est $v_n = 3600 \times 1,05^n$. Pour 2030 ($n=10$), $v_{10} = 3600 \times 1,05^{10} \approx 5864,40$ €.
3. Algorithmique Python :
Le script compare les deux loyers année après année. La boucle continue tant que le loyer $u$ est supérieur ou égal au loyer $v$. Si le programme renvoie $n=6$, cela signifie que pour $n=5$, le loyer $u_5$ était encore supérieur ou égal à $v_5$, mais qu'à partir de $n=6$, le loyer du contrat n°2 a dépassé celui du contrat n°1. Interprétation : C'est en 2026 ($2020+6$) que le loyer du contrat n°2 devient pour la première fois plus élevé que celui du contrat n°1.