Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de 2020, est un QCM complet balayant plusieurs chapitres fondamentaux du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement des formules de géométrie analytique, de trigonométrie et des notions de base en programmation Python.

Points de vigilance et notions clés

• Géométrie vectorielle : Savoir calculer un produit scalaire dans un repère orthonormé avec la formule $xx' + yy'$.
• Théorème d'Al-Kashi : Indispensable pour calculer une longueur dans un triangle quelconque quand on connaît deux côtés et l'angle compris entre eux.
• Équation de cercle : Maîtriser le passage de la forme canonique $(x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 = R^2$ à la forme développée.
• Cercle trigonométrique : Comprendre la périodicité de $2\pi$ pour trouver des points images confondus.
• Python : Analyser la structure d'une boucle range et l'évolution d'une variable cumulative.

Correction détaillée

Question 1 : On utilise la formule analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_u x_v + y_u y_v = (-2 \times 3) + (4 \times -6) = -6 - 24 = -30$. La réponse correcte est la b.

Question 2 : D'après le théorème d'Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$. $BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60^{\circ})$. Or $\cos(60^{\circ}) = 0,5$. Donc $BC^2 = 25 + 49 - 35 = 39$. On en déduit $BC = \sqrt{39}$. La réponse correcte est la d.

Question 3 : L'équation cartésienne est $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4^2$. En développant : $x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 16$. Soit $x^2 - 4x + y^2 - 6y - 3 = 0$. La réponse correcte est la c.

Question 4 : On cherche un réel $x$ tel que $x = \frac{-23\pi}{3} + 2k\pi$. On remarque que $\frac{-23\pi}{3} = \frac{-24\pi + \pi}{3} = -8\pi + \frac{\pi}{3}$. Comme $-8\pi$ est un multiple de $2\pi$, le point image est le même que celui de $\frac{\pi}{3}$. La réponse correcte est la b.

Question 5 : L'algorithme initialise $L = [1]$. La boucle range(1, 4) s'exécute pour $i=1, 2, 3$.
- Pour $i=1$ : $U = 2 \times 1 + 3 = 5$, $L = [1, 5]$.
- Pour $i=2$ : $U = 2 \times 5 + 3 = 13$, $L = [1, 5, 13]$.
- Pour $i=3$ : $U = 2 \times 13 + 3 = 29$, $L = [1, 5, 13, 29]$.
La réponse correcte est la b.