Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un classique des évaluations de Première Spécialité. Il balaye deux pans majeurs du programme : la géométrie vectorielle via le produit scalaire et l'analyse fonctionnelle à travers la dérivation. L'objectif est d'évaluer la rapidité d'exécution et la maîtrise des définitions fondamentales : calcul par le cosinus, projection orthogonale, distributivité vectorielle et lecture graphique d'un nombre dérivé (pente d'une tangente).

Points de vigilance et notions requises

• Produit scalaire : Il faut connaître les trois formes de calcul : la forme avec le cosinus ($\vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$), la forme par projection et la distributivité.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
• Dérivée et Tangente : Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond physiquement au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
• Signe de f vs Signe de f' : Ne pas confondre la position de la courbe (signe de la fonction) avec le sens de variation (signe de la dérivée).

Correction détaillée

Question 1 : On utilise la formule trigonométrique : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) = 5 \times 6 \times \cos(\frac{\pi}{4}) = 30 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$. La réponse correcte est la a.

Question 2 : Par projection orthogonale de $O$ sur la droite $(AB)$, notons $I$ le projeté de $O$. $I$ est le milieu de $[AB]$. Ainsi $\vec{AB} \cdot \vec{OB} = \vec{AB} \cdot \vec{IB}$. Comme les vecteurs sont colinéaires et de même sens : $1 \times 0,5 = 0,5$. La réponse correcte est la c.

Question 3 : On développe par distributivité : $(\vec{u}+\vec{v}) \cdot (2\vec{u} - \vec{v}) = 2\vec{u}^2 - \vec{u}\cdot\vec{v} + 2\vec{v}\cdot\vec{u} - \vec{v}^2$. Puisque $\vec{u} \perp \vec{v}$, alors $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$. Il reste $2||u||^2 - ||v||^2 = 2(2^2) - 1^2 = 8 - 1 = 7$. La réponse correcte est la d.

Question 4 : $f'(5)$ est le coefficient directeur de la droite $D$. En lisant graphiquement, la droite passe par $(5;0)$ et $(2;1)$. Le coefficient est $m = \frac{1-0}{2-5} = -\frac{1}{3}$. La réponse correcte est la d.

Question 5 : Sur $]-\infty; 0]$, la courbe est située au-dessus de l'axe des abscisses, donc $f(x) \ge 0$. Les autres propositions concernant la dérivée sont fausses car la fonction est d'abord croissante puis décroissante sur cet intervalle. La réponse correcte est la c.