Analyse de l'énoncé et thématiques abordées

Cet exercice sous forme de Questionnaire à Choix Multiple (QCM) est un excellent outil de révision car il balaie une grande partie du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il aborde successivement les probabilités conditionnelles, l'étude du signe d'un trinôme du second degré, la géométrie analytique (vecteurs normaux et cercles) et enfin les suites numériques définies par récurrence.

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilités : Rappelez-vous que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. La formule des probabilités totales est indispensable pour calculer $P(D)$.
• Second degré : Pour résoudre $-2x^2 - 5x + 3 < 0$, il faut identifier les racines du trinôme via le discriminant $\Delta$ et connaître la règle du signe du binôme ($a$ à l'extérieur des racines).
• Géométrie repérée : Une droite d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ possède un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$. Pour le cercle, l'équation canonique est $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.
• Suites : Soyez attentifs à l'indice dans la relation de récurrence. $u_{n+1}$ dépend de $n$ et de $u_n$. Une suite est arithmétique seulement si $u_{n+1} - u_n$ est constant.

Correction détaillée

Question 1 : On calcule d'abord $P(C) = 1 - (0,12 + 0,24) = 0,64$. En complétant les branches, on applique la formule des probabilités totales : $P(D) = P(A) \times P_A(D) + P(B) \times P_B(D) + P(C) \times P_C(D) = 0,12 \times 0,5 + 0,24 \times (1-0,8) + 0,64 \times (1-0,9) = 0,06 + 0,048 + 0,064 = 0,172$. Réponse d.

Question 2 : Calcul du discriminant $\Delta = (-5)^2 - 4(-2)(3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$. Les racines sont $x_1 = \frac{5+7}{-4} = -3$ et $x_2 = \frac{5-7}{-4} = 0,5$. Comme $a = -2 < 0$, le trinôme est négatif à l'extérieur des racines. Réponse b.

Question 3 : L'équation est $2x - 8y + 1 = 0$. Un vecteur normal est $\vec{n}(2; -8)$. Tout vecteur colinéaire est aussi normal. En divisant par 2, on obtient $\vec{n'}(1; -4)$. Réponse a.

Question 4 : L'équation est $(x - (-2))^2 + (y - (-4))^2 = 2^2$, soit $(x+2)^2 + (y+4)^2 = 4$. En développant : $x^2 + 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 4$, ce qui donne $x^2 + 4x + y^2 + 8y + 16 = 0$. Réponse b.

Question 5 : Calculons les premiers termes : $u_1 = u_0 + 2(0) - 3 = 1 - 3 = -2$. Puis $u_2 = u_1 + 2(1) - 3 = -2 + 2 - 3 = -3$. Enfin $u_3 = u_2 + 2(2) - 3 = -3 + 4 - 3 = -2$. Réponse c.