Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la spécialité de Première se concentre sur la modélisation discrète d'une évolution démographique. Le sujet traite d'une diminution annuelle constante en pourcentage, ce qui est le scénario classique menant à l'utilisation des suites géométriques. L'énoncé demande de jongler entre trois représentations : la définition récursive (évolution d'une année sur l'autre), la définition algorithmique (code Python) et la définition explicite (formule en fonction de $n$).

Points de vigilance et notions de cours

• Coefficient multiplicateur : Une baisse de $t\%$ correspond à un coefficient multiplicateur $k = 1 - \frac{t}{100}$. Ici, pour une baisse de 4%, $k = 1 - 0,04 = 0,96$.
• Structure Python : Dans la fonction Suite(n), la boucle for i in range(1, n+1) s'exécute exactement $n$ fois. La variable $u$ est mise à jour par multiplication successive, ce qui correspond à la définition d'une suite géométrique.
• Passage à la forme explicite : Il est crucial de connaître la formule $u_n = u_0 \times q^n$ pour résoudre les problèmes de seuil sans avoir à calculer tous les termes intermédiaires.
• Interprétation de $n$ : $n$ représente le nombre d'années écoulées depuis 2019. Ainsi, pour l'année 2030, on a $n = 2030 - 2019 = 11$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Nature de la suite : Chaque année, le nombre d'accouchements est multiplié par $0,96$ (car $1 - 4/100 = 0,96$). On a donc $u_{n+1} = 0,96 \times u_n$. Par définition, $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 900$ et de raison $q = 0,96$.

2. Algorithme Python : La fonction calcule le terme de rang $n$. Pour $n=5$, on calcule $u_5 = 900 \times 0,96^5$. À la calculatrice, on obtient $u_5 \approx 733,82$. La valeur renvoyée est donc environ 733,8.

3. Expression explicite : Pour une suite géométrique, la formule est $u_n = u_0 \times q^n$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé, on obtient : $u_n = 900 \times 0,96^n$.

4. Étude de l'année 2030 : Comme établi, l'année 2030 correspond à $n=11$. Calculons $u_{11} = 900 \times 0,96^{11} \approx 574,3$. Puisque $574,3 < 600$, le seuil de fermeture est atteint. La maternité sera donc fermée en 2030.

5. Recherche du seuil : On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n < 600$. En testant les valeurs :
- Pour $n=9$ : $u_9 = 900 \times 0,96^9 \approx 623,3$ (supérieur à 600).
- Pour $n=10$ : $u_{10} = 900 \times 0,96^{10} \approx 598,4$ (inférieur à 600).
La fermeture intervient pour $n=10$, soit en $2019 + 10 = 2029$.