Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, issu des épreuves de Première Spécialité, porte sur la modélisation d'un placement financier à intérêts composés. La notion centrale est celle de la suite géométrique. L'énoncé nous présente un capital initial de 5000 € qui augmente de 3 % chaque année. Dans le langage des suites, une augmentation annuelle de 3 % correspond mathématiquement à une multiplication par un coefficient multiplicateur de $1 + \frac{3}{100} = 1,03$.
Points de vigilance et notions de cours
- Le coefficient multiplicateur : Il est crucial de transformer immédiatement le taux de 3 % en $1,03$. Une erreur classique est d'additionner 0,03 ou de multiplier par 0,03.
- Nature de la suite : Comme on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la suite est géométrique.
- Formule du terme général : Il faut connaître par cœur $u_n = u_0 \times q^n$.
- Calcul de seuil : La question 4 demande de trouver $n$ tel que $u_n > 10000$. En Première, cela se résout généralement par tâtonnement à la calculatrice ou via le mode 'Table'.
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes :
Le capital $u_1$ après 1 an est : $u_1 = 5000 \times 1,03 = 5150$.
Le capital $u_2$ après 2 ans est : $u_2 = 5150 \times 1,03 = 5304,5$.
Les valeurs correspondent bien à l'énoncé.
2. Expression de la suite :
a) Pour tout $n$, $u_{n+1} = 1,03 \times u_n$. La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 1,03$ et de premier terme $u_0 = 5000$.
b) On en déduit l'expression fonctionnelle : $u_n = 5000 \times 1,03^n$.
3. Capital à 18 ans :
On cherche $u_{18} = 5000 \times 1,03^{18}$.
À l'aide de la calculatrice, on trouve $u_{18} \approx 8512,16$. Le capital acquis est d'environ 8512,16 €.
4. Résolution du seuil :
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $5000 \times 1,03^n > 10000$, ce qui revient à chercher $1,03^n > 2$.
En utilisant la table de valeurs de la calculatrice :
Pour $n = 23$ : $1,03^{23} \approx 1,973$
Pour $n = 24$ : $1,03^{24} \approx 2,032$
Lisa aura donc 24 ans quand son capital dépassera les 10 000 euros.