Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité traite de l'évolution d'une population à travers le prisme des suites numériques et de la programmation Python. La structure est classique : une première partie théorique sur les suites géométriques, suivie d'une application concrète (modélisation démographique), pour finir sur une suite arithmético-géométrique gérée par un algorithme.

Points de vigilance et notions requises

• Coefficients multiplicateurs : Une baisse de $0,1\%$ correspond à un coefficient multiplicateur de $1 - \frac{0,1}{100} = 0,999$.
• Somme des termes : La formule de la somme d'une suite géométrique $\sum = u_0 \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ nécessite de bien compter le nombre de termes (ici, de $u_0$ à $u_{19}$, il y a $20$ termes).
• Lecture d'algorithme : En Python, la boucle range(1, N+1) s'exécute exactement $N$ fois.

Correction détaillée

Partie A

1. La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 82695$ et de raison $q = 0,999$.
On utilise la formule du terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.
$u_{19} = 82695 \times 0,999^{19} \approx 81139$.

2. Pour la somme $S = u_0 + \dots + u_{19}$, il y a $20$ termes.
$S = 82695 \times \frac{1 - 0,999^{20}}{1 - 0,999} = 82695 \times \frac{1 - 0,999^{20}}{0,001}$.
$S \approx 1638209,7$ (valeur approchée).

Partie B

Entre le 1er janvier 2016 et le 1er janvier 2035, il s'écoule $2035 - 2016 = 19$ années.
La population initiale est de $82\,695\,000$. En notant $P_n$ la population l'année $2016+n$, on a une suite géométrique de raison $0,999$.
L'effectif en 2035 correspond à $P_{19} = 82\,695\,000 \times 0,999^{19}$.
On remarque que $P_{19} = 1000 \times u_{19}$.
L'estimation est donc d'environ $81\,139\,000$ habitants.

Partie C

1. Pour population(2), on simule deux itérations :
Initialement, $p = 82\,695\,000$.
Itération 1 : $p = 0,999 \times 82\,695\,000 + 58\,700 = 82\,612\,305 + 58\,700 = 82\,671\,005$.
Itération 2 : $p = 0,999 \times 82\,671\,005 + 58\,700 = 82\,588\,333,995 + 58\,700 = 82\,647\,033,995$.
La fonction retourne environ $82\,647\,034$.

2. La valeur retournée pour $N=19$ représente l'estimation de la population au 1er janvier 2035 en tenant compte à la fois de la baisse naturelle de $0,1\%$ et du solde migratoire annuel constant de $58\,700$ personnes.