Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM balaie plusieurs chapitres fondamentaux du programme de Première Spécialité. Il nécessite une agilité mentale pour passer d'une notion à l'autre : calcul de probabilités, interprétation géométrique du nombre dérivé et lecture d'un algorithme Python.

Points de vigilance

• Variables Aléatoires : Bien identifier l'univers des possibles (Ω). Pour deux lancers de pièces, il y a 4 issues équiprobables (PP, PF, FP, FF).
• Probabilités : Ne pas confondre la formule de l'union $P(A \cup B)$ avec celle des probabilités conditionnelles.
• Dérivation : Se rappeler que $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
• Python : Effectuer un suivi manuel des variables (trace) rigoureux pour la boucle 'while'.

Correction détaillée

Question 1 : L'univers est $\{FF; FP; PF; PP\}$. Les probabilités sont : $P(FF) = 1/4$, $P(une seul Face) = 2/4 = 1/2$, $P(PP) = 1/4$. L'espérance $E(G) = (-5 \times 0,25) + (2 \times 0,5) + (4 \times 0,25) = -1,25 + 1 + 1 = 0,75$. Réponse a.

Question 2 : On utilise $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Donc $P(A \cap B) = 3/7 + 3/20 - 4/7 = 3/20 - 1/7 = (21-20)/140 = 1/140$. Réponse c.

Question 3 : Selon la loi des probabilités totales : $P(C) = P(A)P_A(C) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(C)$. On a $0,48 = 0,2 \times 0,6 + 0,8 \times x$, soit $0,48 = 0,12 + 0,8x$, d'où $0,36 = 0,8x$, donc $x = 0,36 / 0,8 = 0,45$. Réponse c.

Question 4 : $f'(4)$ est la pente de la droite (GH). Avec $G(4; 3)$ et $H(5; 0)$, le coefficient directeur est $m = (0 - 3) / (5 - 4) = -3 / 1 = -3$. Réponse d.

Question 5 : Pour $evolu(400)$, suivons $i$ :
1. Initialement $i=200, n=0$.
2. $i = 1,2 \times 200 + 10 = 250, n=1$.
3. $i = 1,2 \times 250 + 10 = 310, n=2$.
4. $i = 1,2 \times 310 + 10 = 382, n=3$.
5. $i = 1,2 \times 382 + 10 = 468,4, n=4$.
Comme $468,4 > 400$, la boucle s'arrête et renvoie $n=4$. Réponse d.