Analyse de l'énoncé
Cet exercice de niveau Première Spécialité est complet car il mobilise deux compétences majeures : l'interprétation graphique des propriétés d'une courbe (tangentes, nombre dérivé) et l'étude analytique d'une fonction composée avec l'exponentielle. L'énoncé nous donne des informations cruciales sur le comportement de la fonction $f$ via des points clés ($A, B, C$) et des tangentes spécifiques (horizontale en $x=1$ et passant par deux points connus en $x=0$).
Points de vigilance et notions de cours
- Nombre dérivé et pente : Rappelez-vous que $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Une tangente horizontale implique $f'(a) = 0$.
- Équation de tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur.
- Dérivation d'un produit : La fonction $f(x) = (2-x)e^x$ est de la forme $u \times v$. On applique $(uv)' = u'v + uv'$.
- Signe de l'exponentielle : Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépendra donc que du facteur polynomial.
Correction détaillée
1. Valeur de $f'(1)$ : L'énoncé indique que la tangente au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses. Une telle droite a un coefficient directeur nul, donc $f'(1) = 0$.
2. Équation de la tangente en A : Le point A a pour coordonnées $(0 ; 2)$. La tangente en A est la droite $(AC)$ avec $C(-2 ; 0)$. Calculons son coefficient directeur : $m = (y_A - y_C) / (x_A - x_C) = (2 - 0) / (0 - (-2)) = 2/2 = 1$. L'ordonnée à l'origine est $y_A = 2$. L'équation est donc $y = x + 2$.
3. Calcul de la dérivée : Soit $f(x) = (2-x)e^x$. On pose $u(x) = 2-x$ d'où $u'(x) = -1$, et $v(x) = e^x$ d'où $v'(x) = e^x$.
$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = -1 \cdot e^x + (2-x)e^x = e^x(-1 + 2 - x) = (-x + 1)e^x$.
4. Variations : Puisque $e^x > 0$, $f'(x)$ est du signe de $-x+1$.
$-x+1 > 0 \iff x < 1$.
Sur $[-10 ; 1]$, $f'(x) \geq 0$, donc $f$ est croissante. Sur $[1 ; 2]$, $f'(x) \leq 0$, donc $f$ est décroissante.
5. Tangente en B(2 ; 0) : On calcule $f'(2) = (-2+1)e^2 = -e^2$. L'équation est $y = f'(2)(x-2) + f(2) = -e^2(x-2) + 0$. Soit $y = -e^2x + 2e^2$.