Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des épreuves de 2020 pour la spécialité mathématiques en Première. Il balaie un spectre large du programme : l'analyse (tangente et dérivation de fonctions composées), la géométrie repérée (vecteurs et équations de droites) et la trigonométrie (parité des fonctions).

Points de vigilance et notions requises

• Analyse : Il est crucial de connaître par cœur l'équation de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ et la formule de dérivation des fonctions de type $e^{u(x)}$, qui est $u'(x)e^{u(x)}$.
• Géométrie : Savoir lire les coordonnées de points dans un repère et calculer les composantes d'un vecteur $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$. Pour les droites, la distinction entre équation cartésienne et équation réduite est fondamentale pour identifier le coefficient directeur.
• Trigonométrie : Rappelez-vous que $\cos(-x) = \cos(x)$ (paire) et $\sin(-x) = -\sin(x)$ (impaire).

Correction détaillée

Question 1 : Soit $f(x) = e^x$. On cherche la tangente en $a=0$. On a $f(0) = e^0 = 1$ et $f'(x) = e^x$ donc $f'(0) = 1$. L'équation est $y = 1(x-0) + 1$, soit $y = x + 1$. Réponse a.

Question 2 : La fonction est de la forme $e^u$ avec $u(x) = -2x+6$. Sa dérivée est $u'(x)e^u$ avec $u'(x) = -2$. On obtient $f'(x) = -2e^{-2x+6}$. Réponse b.

Question 3 : Par lecture graphique, le point A a pour coordonnées $(1 ; 3)$ et le point B a pour coordonnées $(7 ; 1)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(7-1 ; 1-3) = (6 ; -2)$. On écrit donc $\vec{AB} = 6\vec{i} - 2\vec{j}$. Réponse d.

Question 4 : $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$. Calculons $f(-x) = \sin(-x) - \cos(-x) = -\sin(x) - \cos(x)$. Ce n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$. De plus, $f(0) = \sin(0) - \cos(0) = 0 - 1 = -1 \neq 0$. La fonction n'est ni paire ni impaire. Réponse c.

Question 5 : L'équation $5x - 2y + 8 = 0$ peut s'écrire sous forme réduite : $-2y = -5x - 8$, d'où $y = \frac{5}{2}x + 4$. Le coefficient directeur est $\frac{5}{2}$. Réponse b.