Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) issu des sujets communs de 2020 pour la Première Spécialité Mathématiques. Il balaye un large spectre du programme, testant à la fois les capacités de calcul algébrique, la maîtrise de la géométrie analytique et l'analyse de fonctions. Ce type d'exercice demande une grande agilité mentale pour passer d'un concept à l'autre rapidement.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir déterminer le signe d'un trinôme à partir de ses racines et de son coefficient dominant.
• Produit scalaire : Utiliser la condition d'orthogonalité (u·v = 0) et savoir manipuler les coordonnées de vecteurs avec paramètres.
• Géométrie repérée : Connaître le lien entre vecteur normal (a, b) et l'équation cartésienne ax + by + c = 0.
• Suites : Appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique : S = Premier_terme * (1 - raison^nb_termes) / (1 - raison).
• Dérivation : Maîtriser la dérivation d'un quotient (u/v)' = (u'v - uv')/v².

Correction détaillée

Question 1 : Pour $3x^2-4x+1 \ge 0$, on cherche les racines. La somme des coefficients est nulle (3-4+1=0), donc $x_1 = 1$ est racine évidente. Le produit $x_1x_2 = c/a = 1/3$, donc $x_2 = 1/3$. Le trinôme est positif à l'extérieur des racines car $a=3 > 0$. Réponse B.

Question 2 : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \iff (a+2) \times 3 + (-1) \times a = 0 \iff 3(a+2) - a = 0$. Réponse C.

Question 3 : Le vecteur normal $\vec{u}(1;2)$ donne une équation de type $x + 2y + c = 0$. En remplaçant par A(-2; 3) : $-2 + 2(3) + c = 0 \implies 4 + c = 0 \implies c = -4$. L'équation est $x + 2y - 4 = 0$. Réponse B.

Question 4 : Il y a 11 termes de $u_0$ à $u_{10}$. $S = 3 \times \frac{2^{11}-1}{2-1} = 3(2^{11}-1)$. Réponse A.

Question 5 : Avec $u(x)=2x+1$ et $v(x)=x-1$, on a $u'(x)=2$ et $v'(x)=1$. $f'(x) = \frac{2(x-1) - 1(2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$. Réponse B.