Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu des épreuves de spécialité mathématiques de 2020, porte sur l'étude d'une évolution linéaire modélisée par une suite numérique. L'énoncé présente une situation concrète : l'augmentation annuelle constante du nombre d'abonnés sur un réseau social. Ce type de croissance, où l'on ajoute une valeur fixe à chaque étape, est la définition même d'une suite arithmétique.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs compétences fondamentales du programme de Première Spécialité sont mobilisées :

• Identification de la nature de la suite : Il faut savoir reconnaître qu'une augmentation constante correspond à une suite arithmétique de raison $r$.
• Modélisation : Passer d'un énoncé textuel à une formule de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$.
• Formule explicite : Savoir transformer une relation de récurrence en une forme directe $u_n = u_0 + n \times r$ pour calculer des termes lointains sans étapes intermédiaires.
• Résolution d'équations : Savoir isoler l'inconnue $n$ pour répondre à des questions de seuil ou de durée.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul des premiers termes : En 2019 ($n=0$), $u_0 = 6000$. En 2020 ($n=1$), on ajoute 750 abonnés : $u_1 = 6000 + 750 = 6750$. En 2021 ($n=2$), $u_2 = 6750 + 750 = 7500$.

2. Expression de $u_{n+1}$ : La règle d'évolution stipule qu'on ajoute 750 chaque année, donc pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 750$.

3. Nature de la suite : La suite $(u_n)$ est définie par un premier terme $u_0$ et une relation de la forme $u_{n+1} = u_n + r$ avec $r$ constant. Il s'agit donc d'une suite arithmétique de raison $r = 750$ et de premier terme $u_0 = 6000$.

4. Expression de $u_n$ en fonction de $n$ : D'après la propriété du cours sur les suites arithmétiques, on a $u_n = u_0 + n \times r$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient : $u_n = 6000 + 750n$.

5. Détermination de l'année du triplement : Le nombre initial d'abonnés est 6000. Son triple est $3 \times 6000 = 18000$. Nous cherchons $n$ tel que $u_n = 18000$.
$6000 + 750n = 18000$
$750n = 12000$
$n = 12000 / 750 = 16$.
L'année recherchée est donc $2019 + 16 = 2035$.